Nierówność logarytmiczno-wykładniczo-potęgowa

[Januszgolenia]

\(log_2(3^{x+1}+1)>1+log_2(9^x-2)\)

[kerajs]

Z: \(9^x-2>0 \ \ \ \So \ \ \ x>\log_92\)

\(\log_2(3^{x+1}+1)>1+\log_2(9^x-2) \\
\log_2(3\cdot 3^{x}+1)>\log_22+\log_2(9^x-2) \\
3\cdot 3^{x}+1>2(9^x-2)\\
2\cdot(3^x)^2-3\cdot 3^x-5<0\\
2(3^x+1)(3^x- \frac{5}{2} )<0 \\
3^x< \frac{5}{2}\\
\frac{x}{2}\log_93^2<\log_9 \frac{5}{2}\\
x<\log_9 \frac{25}{4}
\)
Porównując powyższe z założeniem dostaje się rozwiązanie:
\(\log_92<x< \log_9 \frac{25}{4}\)

[Januszgolenia]

No właśnie a w odpowiedzi jest \(x \in (log_3{ \sqrt{2} },log_3{ \frac{5}{2} })\)

[kerajs]

To te same wyniki gdyż:
\(\log_3 \sqrt{2}= \frac{\log_9 2^{ \frac{1}{2} }}{\log_93}= \frac{ \frac{1}{2}\log_92 }{\frac12}=\log_92\\
\log_9 \frac{25}{4}= \frac{\log_3(\frac52)^2}{\log_39}= \frac{2\log_3\frac52}{2}=\log_3\frac52 \)