Nierówność logarytmiczna

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1259
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1331 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Nierówność logarytmiczna

Post autor: Januszgolenia » 19 lip 2020, 10:16

Rozwiąż nierówność.
\((1-logx)^2+(1-logx)^3+(1-logx)^4+...... \le 3logx-1\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 17051
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7196 razy
Płeć:

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: radagast » 19 lip 2020, 12:04

podstawmy
\(\log x =t \)
Wtedy nierówność wygląda nieco prościej:
\((1-t)^2+(1-t)^3+(1-t)^4+...... \le 3t-1\)
Teraz ją rozwiążmy:
\(D: |1-t|<1\)
czyli \(D=(0,2)\)
\( \frac{(1-t)^2}{1-(1-t)} \le 3t-1 \)
\( \frac{(1-t)^2}{t} - 3t+1 \le 0\)
\( \frac{(1-t)^2-3t^2+t}{t} \le 0\)
\( \frac{1-2t+t^2-3t^2+t}{t} \le 0\)
\( \frac{1-t-2t^2}{t} \le 0\)
\( \frac{2t^2+t-1}{t} \ge 0\)
\( (2t^2+t-1)t \ge 0\)
\(2(t- \frac{1}{2} )(t+1)t \ge 0\)
\(t \ge \frac{1}{2} \vee t \in \left\langle-1,0 \right\rangle \)
co po przecięciu z dziedziną daje: \(t \in < \frac{1}{2},2) \)
czyli \(\log x \in \left\langle \frac{1}{2},2 \right)\)
czyli \(x \in \left\langle \sqrt{10},100 \right) \)

Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1259
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1331 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: Januszgolenia » 19 lip 2020, 14:38

Ale \( \frac{(1-t)^2-3t^2+t}{t} \le 0 to \frac{1-t-2t^2}{t} \le 0 a nie \frac{1-t+2t^2}{t} \le 0\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 17051
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7196 razy
Płeć:

Re: Nierówność logarytmiczna

Post autor: radagast » 19 lip 2020, 17:34

Masz rację , pomyliłam się przepisując, zaraz poprawię (odpowiedź będzie taka sama :) )