Udowodnić nierówność...

[coder89]

Witam.
Bardzo proszę o pomoc w udowodnieniu prawdziwości nierówności:

dla każdego \(a > 0\)

\(a^x + \frac {1}{a^x} \geq 2\)

Z góry dziękuję za pomoc... Pozdrawiam.

[czachur]

\(a^x=t\) , \(t>0\)
\(t+\frac{1}{t}\geq 2\)
\(\frac{t^2+1}{t}\geq 2\)
\(t>0\) więc mnożymy na krzyż, otrzymując:
\(t^2+1\geq 2t\)
\(t^2-2t+1\geq 0\)
\((t-1)^2\geq 0\)

Ostatnia nierówność jest w sposób oczywisty prawdziwa dla każdego \(t=a^x\) , czyli nierówność wyjściowa jest spełniona, c.n.d

[coder89]

hmmm no tak faktycznie po sylwestrze ciężko mi sie myśli... :PP dzięki