równanie z parametrem

[maxkor]

Dla jakich wartości parametru m równanie \(x^4-mx+\dfrac 1m = 0\) nie ma rozwiązań w przedziale [1,2]?

[panb]

Dla jakich wartości parametru m równanie \(x^4-mx+\dfrac 1m = 0\) nie ma rozwiązań w przedziale [1,2]?

Jeśli zapiszemy to równanie tak: \(x^4=mx- \frac{1}{m} \), to zadanie będzie można sformułować tak
Dla jakich wartości parametru \(m\) wartości funkcji \( y=mx- \frac{1}{m}\) nie należą do przedziału \([1,16]\), dla \(x\in[1,2]\)

Ja uważam, że lepiej policzyć kiedy wartości należą do tego przedziału, a potem te wartości wykluczyć.
Tak postępując uzyskałem

Odpowiedź: Równanie \(x^4-mx+\dfrac 1m = 0\) nie ma rozwiązań w przedziale [1,2] dla \[ m\in \left(-\infty, \frac{1-\sqrt5}{2}\right) \cup \left( \frac{8-\sqrt{66}}{2},0 \right) \cup \left(0, \frac{\sqrt5+1}{2} \right) \cup \left( \frac{8+\sqrt{66}}{2},+\infty \right) \]

P.S. Jeśli nadal nie wiesz jak to liczyć, daj znać, ale mam nadzieję, ze takie ujęcie problemu wyjaśnia sposób rozwiązywania.

[maxkor]

A możesz pokazać jak do szedłeś do tego wyniku.

[panb]

Poszukam dla jakich wartości m wartości funkcji \(y=mx- \frac{1}{m}\) należą do przedziału \([1^4, 2^4] \).

czyli \(x\in [1,2] \So y\in \left[m- \frac{1}{m} , 2m- \frac{1}{m} \right]=[1,16]\\
m- \frac{1}{m}=1,\quad 2m- \frac{1}{m}=16 \\
m= \frac{1\pm \sqrt5}{2},\quad m= \frac{8\pm\sqrt{66}}{2} \)

Wartości funkcji \(y=mx- \frac{1}{m}\) należą do przedziału \([1,16] \iff m\in \left[\frac{1 - \sqrt5}{2}, \frac{8-\sqrt{66}}{2}\right] \vee m\in \left[\frac{1 + \sqrt5}{2}, \frac{8+\sqrt{66}}{2}\right] \)

Już dasz radę dalej? Tylko pamiętaj, żeby wykluczyć zero!