równanie z parametrem

[piteer]

Wyznacz wartości parametru p dla którego \(x^5 − px−1 = 0\) ma dwa pierwiastki r oraz s które są pierwiastkami równania \(x^2−ax+b= 0\) dla pewnych liczb całkowitych a,b.

[Jerry]

\(1^\circ\)Skoro równanie \(x^2−ax+b= 0\) dwa pierwiastki \(r\) oraz \(s\), to
\( \begin{cases} r+s=a\\rs=b\end{cases} \wedge r-s\ne0\)
\(2^\circ\ \begin{cases}r^5 − pr−1 = 0\\s^5 − ps−1 = 0 \end{cases}\So {r^5-1\over r}=p={s^5-1\over s}\wedge rs\ne0\)
\(r^4-{1\over r}=s^4-{1\over s}\\
(r^2+s^2)(r+s)(r-s)={s-r\over rs}\quad |\colon (r-s)\ |\cdot rs\\
[(r+s)^2-2rs](r+s)rs=-1\)
Wobec \(1^\circ\)
\((a^2-2b)\cdot a\cdot b=-1\)
Ponieważ \(a,b\in\zz\), to \( \begin{cases} a=1\\b=1\end{cases} \) i równanie \(x^2−x+1= 0\) nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Odpowiedź: \(p\in\emptyset\)

Pozdrawiam
PS. Ja się gdzieś walnąłem w rachunkach czy treść nieoryginalna/walnięta/zlosliwa

[panb]

Też mi tak wyszło.