równanie z parametrem i wartością bezwzględną

[hyprj]

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie
\(
\left|x-{a}^{3}\right|+\left|x-4\right|=4-{a}^{3}
\)

ma conajmniej 13 rozwiązań całkowitych

[kerajs]

Dla \(x \in \left\langle a^3;4 \right\rangle \) równanie jest tożsamościowe.
Aby w tym przedziale było co najmniej 13 liczb całkowitych to \(a^3 \le -8\) , więc \(a\le -2\) .

[Jerry]

Najczęściej takie równanie ma zero albo dwa rozwiązania rzeczywiste, ale..
\(1^\circ \ a^3<4\)
dla \(x\in [a^3;\ 4]\) mamy:
\(x-{a}^{3}-x+4=4-a^3\)
\(0=0\)
Czyli \(x\in [a^3;\ 4]\)
Aby w tym przedziale mieściło się co najmniej 13 liczb całkowitych, musi
\(4-a^3\ge12\iff a\le-2\)
\(2^\circ \ a^3\ge4\)
dla \(x\in [4;\ a^3]\) mamy:
\(-x+{a}^{3}+x-4=4-a^3\)
\(2a^3=8\iff a=\sqrt[3]4\) aby równanie było tożsamościowe
Czyli \(x=4\) czyli jedna

Odp. Wobec \(1^\circ, 2^\circ\) mamy \(a\in(-\infty;\ -2]\)

Pozdrawiam