równanie w liczbach całkowitych

[piteer]

Ile jest par liczb całkowitych spełnia równanie \(a^{{b}^2}=b^{2a}\), gdzie a > 0 oraz |b|>|a|.

[Sciurius]

Weźmy: \(b^2 = t\)
\(a^{b^2}=a^t\)
\(b^{2a}=(b^2)^a = t^a\)
Mamy więc równanie:
\(a^t = t^a\) gdzie \(a\in \zz\) a t jest kwadratem liczby całkowitej
To równanie jest dosyć znane i jego jedynymi rozwiązaniami w liczbach całkowitych dodatnich (t jest nieujemne zatem jeśli a jest ujemne to a^t jest całkowite podczas gdy t^a nie jest całkowite) są:
1) \(a=t\)
2) \(a=4\) i \(t=2\)
3) \(a=2\) i \(t=4\)
mamy zatem:
1) \(a=b^2\) przy założeniu |b|>|a| to równanie nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych
2) \(a=4\) i \(b^2=2 \to b= \pm \sqrt{2}\) b ma być całkowite więc to rozwiązanie też odrzucamy
3) \(a=2\) i \(b^2 = 4 \to b= \pm 2\) zatem |b|=|a| a nie większa czyli to rozwiązanie też odrzucamy

Z powyższego wynika że nie istnieje taka para (a,b) spełniająca to równanie że |b|>|a| czyli odpowiedzią jest 0