granica z paremetrem

[hyprj]

Wyznacz wszystkie wartości paremetru k, dla których granicą ciągu
\({a}_{n}= \frac{k{n}^{2}+3n+k}{(k-1){n}^{2}+kn-k} \)
jest liczba mniejsza od k.

[kerajs]

1) \(k \in \rr \bez \left\{ 0, 1 \right\} \ \ \So \ \ \Lim_{n\to \infty } a_n= \frac{k}{k-1} \)
Rozwiąż nierówność:
\(\frac{k}{k-1}<k\)
2) oblicz granicę dla \(k=0\) i sprawdź czy jest ona mniejsza od 0
3) oblicz granicę dla \(k=1\) i sprawdź czy jest ona mniejsza od 1

[Sciurius]

\( \Lim_{n\to \infty} a_n = \Lim_{n\to \infty} \frac{kn^2 +3n+k}{(k-1)n^2 +kn-k} =\Lim_{n\to \infty} \frac{n^2 (k + \frac{3}{n} + \frac{k}{n^2}) }{n^2((k-1) + \frac{k}{n} - \frac{k}{n^2} )} =\Lim_{n\to \infty} \frac{k + \frac{3}{n} + \frac{k}{n^2} }{(k-1) + \frac{k}{n} - \frac{k}{n^2} }\)
Oczywiście:
\( \Lim_{x\to \infty } \frac{a}{x^b} = 0\) dla dowolnej \(a\in \rr\) oraz dowolnej \(b\in \zz _+\) (można to jeszcze uogólnić ale tyle wystarczy)
Zatem:
\(\Lim_{n\to \infty} \frac{k + \frac{3}{n} + \frac{k}{n^2} }{(k-1) + \frac{k}{n} - \frac{k}{n^2} } = \Lim_{n\to \infty} \frac{k }{(k-1)} = \frac{k }{(k-1)}\)
Co prowadzi do nierówności
\( \frac{k}{k-1} < k /*(k-1)^2\)
\(k(k-1)<k(k-1)^2\) a to już łatwo rozwiązać.
Można zamiast wymnażać narysować obie funkcje i odczytać ale musisz być dokładna