A) Wyznacz wszystkie rzeczywiste a,b takie że \(|ax+b-\sqrt{x}| \le \frac{1}{24}\) dla \(1 \le x \le 4.\)
B) Pokaż że stała \(\frac{1}{24}\) nie może być zastąpiona przez mniejszą liczbę.
nierówność z trzema niewiadomymi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Sciurius
- Rozkręcam się
- Posty: 49
- Rejestracja: 05 maja 2020, 16:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9 razy
- Płeć:
Re: nierówność z trzema niewiadomymi
\(ax+b\) jest tak de facto dowolną funkcją liniową więc przyjmując:
\(f(x)=ax+b\)
\(g(x)= \sqrt{x} \)
Mamy:
\(|f(x)-g(x)| \le \frac{1}{24} \) dla \(x \in [1;4]\)
Więc pytanie sprowadza się do tego czy istnieje taka funkcja liniowa f(x) że różnica wartości f(x) i g(x) dla tego samego argumentu jest nie większa niż \(\frac{1}{24}\) w zadanym przedziale
Jak wszyscy wiemy g(x) w tym przedziale wygląda tak:
może tego nie widać ale jest lekko wypukła więc jeśli istnieje prosta która spełnia te warunki to przechodzi przez punkty:
\(A'(1;y_a)\) gdzie \(y_a \in [ \frac{23}{24} ; \frac{25}{24} ]\)
\(B'(4;y_b)\) gdzie \(y_b \in [ \frac{47}{24} ; \frac{49}{24} ]\)
Jako że g(x) jest wypukła prosta przechodząca przez punkty: \(A'(1; \frac{25}{24} )\) \(B'(4;\frac{49}{24})\) nazwijmy ją \(\varphi (x)\) jeśli \(\varphi (x)\) nie spełnia warunków zadania to będzie prostą dla której: \(MAX_{x\in [1;4]}(\varphi (x)-g(x))<MAX_{x\in [1;4]}(h(x)-g(x))\) gdzie h(x) jest dowolną funkcją liniową spełniającą warunki zadania w punktach A, B
Jako że g(x) jest wypukła w przedziale [1;4] to:
\(\forall _{x\in [1;4]}(g(x)>p(x))\) gdzie p(x) jest funkcją liniową przychodzącą przez punkty A, B.
Jako że:
\(\varphi (x)-p(x)= \frac{1}{24} \) to jeżeli \(\varphi (x)\) nie spełnia warunków zadania to:
1) dlatego że istnieje takie \(x_0\) że \(g(x_0)-\varphi (x_0) > \frac{1}{24} \)
2) żadna inna funkcja liniowa nie spełnia warunków zadania gdyż nie istnieje funkcja liniowa q(x) przechodząca przez punkty A,' B' taka że:
\(\exists _{x_0\in [1;4]} (q(x_0)>\varphi (x_0))\)
Zatem sprawdźmy czy \(\varphi (x)\) spełnia warunki zadania.
Łatwo policzyć że:
\(\varphi (x)= \frac{1}{3}x+ \frac{17}{24} \)
Weźmy funkcje:
\(\psi (x) = \varphi (x) - g(x)=\frac{1}{3}x+ \frac{17}{24} - \sqrt{x} \)
\(\psi '(x)= \frac{1}{3} - \frac{1}{2 \sqrt{x} } \)
\(\psi '(x)= 0 \leftrightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}}= \frac{1}{3} \to \sqrt{x}=\frac{3}{2} \to x=\frac{9}{4}\)
Oraz:
\(\psi '(x)< 0 \leftrightarrow x\in [1; \frac{9}{4} )\)
\(\psi '(x)> 0 \leftrightarrow x\in [\frac{9}{4};4 )\)
Zatem funckja \(\psi (x)\) ma minimum lokalne w \(x_0 = \frac{9}{4}\)
(Zaskakująco) \(\psi (\frac{9}{4})=- \frac{1}{24} \) a więc: \(\varphi (x)\) spełnia warunki zadania
(Dowód jest prosty a mi właśnie przyjechało jedzenie więc zostawiam go czytelnikom
)
Jako że nie istnieje funkcja liniowa r(x) różna od \(varphi (x)\) i przechodząca przez punkty A', B' taka że: \( \exists _{x_0}\in (1;4) (r(x_0) \ge \varphi (x_0) \) a w szczególności \(r(\frac{9}{4}) \ge \varphi (\frac{9}{4})\) to funkcja \(varphi (x)\) jest jedyną liniówką spełniającą warunki zadania stąd para \((a;b)=(\frac{1}{3} ;\frac{17}{24} )\) jest jedynym jego rozwiązaniem
q.e.d.
PS Jeśli coś jest źle lub nie zrozumiale napisane śmiało piszcie
\(f(x)=ax+b\)
\(g(x)= \sqrt{x} \)
Mamy:
\(|f(x)-g(x)| \le \frac{1}{24} \) dla \(x \in [1;4]\)
Więc pytanie sprowadza się do tego czy istnieje taka funkcja liniowa f(x) że różnica wartości f(x) i g(x) dla tego samego argumentu jest nie większa niż \(\frac{1}{24}\) w zadanym przedziale
Jak wszyscy wiemy g(x) w tym przedziale wygląda tak:
może tego nie widać ale jest lekko wypukła więc jeśli istnieje prosta która spełnia te warunki to przechodzi przez punkty:
\(A'(1;y_a)\) gdzie \(y_a \in [ \frac{23}{24} ; \frac{25}{24} ]\)
\(B'(4;y_b)\) gdzie \(y_b \in [ \frac{47}{24} ; \frac{49}{24} ]\)
Jako że g(x) jest wypukła prosta przechodząca przez punkty: \(A'(1; \frac{25}{24} )\) \(B'(4;\frac{49}{24})\) nazwijmy ją \(\varphi (x)\) jeśli \(\varphi (x)\) nie spełnia warunków zadania to będzie prostą dla której: \(MAX_{x\in [1;4]}(\varphi (x)-g(x))<MAX_{x\in [1;4]}(h(x)-g(x))\) gdzie h(x) jest dowolną funkcją liniową spełniającą warunki zadania w punktach A, B
Jako że g(x) jest wypukła w przedziale [1;4] to:
\(\forall _{x\in [1;4]}(g(x)>p(x))\) gdzie p(x) jest funkcją liniową przychodzącą przez punkty A, B.
Jako że:
\(\varphi (x)-p(x)= \frac{1}{24} \) to jeżeli \(\varphi (x)\) nie spełnia warunków zadania to:
1) dlatego że istnieje takie \(x_0\) że \(g(x_0)-\varphi (x_0) > \frac{1}{24} \)
2) żadna inna funkcja liniowa nie spełnia warunków zadania gdyż nie istnieje funkcja liniowa q(x) przechodząca przez punkty A,' B' taka że:
\(\exists _{x_0\in [1;4]} (q(x_0)>\varphi (x_0))\)
Zatem sprawdźmy czy \(\varphi (x)\) spełnia warunki zadania.
Łatwo policzyć że:
\(\varphi (x)= \frac{1}{3}x+ \frac{17}{24} \)
Weźmy funkcje:
\(\psi (x) = \varphi (x) - g(x)=\frac{1}{3}x+ \frac{17}{24} - \sqrt{x} \)
\(\psi '(x)= \frac{1}{3} - \frac{1}{2 \sqrt{x} } \)
\(\psi '(x)= 0 \leftrightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}}= \frac{1}{3} \to \sqrt{x}=\frac{3}{2} \to x=\frac{9}{4}\)
Oraz:
\(\psi '(x)< 0 \leftrightarrow x\in [1; \frac{9}{4} )\)
\(\psi '(x)> 0 \leftrightarrow x\in [\frac{9}{4};4 )\)
Zatem funckja \(\psi (x)\) ma minimum lokalne w \(x_0 = \frac{9}{4}\)
(Zaskakująco) \(\psi (\frac{9}{4})=- \frac{1}{24} \) a więc: \(\varphi (x)\) spełnia warunki zadania
(Dowód jest prosty a mi właśnie przyjechało jedzenie więc zostawiam go czytelnikom
)Jako że nie istnieje funkcja liniowa r(x) różna od \(varphi (x)\) i przechodząca przez punkty A', B' taka że: \( \exists _{x_0}\in (1;4) (r(x_0) \ge \varphi (x_0) \) a w szczególności \(r(\frac{9}{4}) \ge \varphi (\frac{9}{4})\) to funkcja \(varphi (x)\) jest jedyną liniówką spełniającą warunki zadania stąd para \((a;b)=(\frac{1}{3} ;\frac{17}{24} )\) jest jedynym jego rozwiązaniem
q.e.d.
PS Jeśli coś jest źle lub nie zrozumiale napisane śmiało piszcie
Pozdrawiam
Sciurius
Sciurius