funkcja kwadratowa

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
attec18
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 30 mar 2020, 23:25
Podziękowania: 5 razy

funkcja kwadratowa

Post autor: attec18 » 19 maja 2020, 13:16

Znaleźć wszystkie funkcje \(f(x)=ax^2+bx+c\), takie że \(f(0)\) jest liczbą całkowitą , \(f(n+\frac{1}{n})>n^2-n+1\) oraz \(f(n+\frac{n-1}{n})<n^2+n-1\), n-naturalne.

Sciurius
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 34
Rejestracja: 05 maja 2020, 16:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re: funkcja kwadratowa

Post autor: Sciurius » 19 maja 2020, 15:44

Przyjmuje że N={0,1,2,...}
(1) \(f(0)\in Z \to c \in Z\)
(2) \(f(n+1/n)=f( \frac{n^2+1}{n})=a* \frac{n^4+2n^2+1}{n^2}+b* \frac{n^3+n}{n^2}+c\)
\(f( \frac{n^2+1}{n})= \frac{an^4+bn^3+(2a+c)n^2+bn+a}{n^2}>n^2-n+1 /*n^2 \)
\(an^4+bn^3+(2a+c)n^2+bn+a>n^4-n^3+n^2\)
\( \wedge (n\in N) [(a-1)n^4+(b+1)n^3+(2a+c-1)n^2+bn+a>0]\)
(3)\(f(n+ \frac{n-1}{n} )=f( \frac{n^2+n-1}{n})\)
Weźmy \(t=n^2+n-1\)
\(f( \frac{t}{n})=a \frac{t^2}{n^2}+b \frac{nt}{n^2}+ \frac{cn^2}{n^2}<t /*n^2\)
\(at^2+bnt+cn^2<n^2t\)
\(a(n^2+n-1)^2+(bn-n^2)(n^2+n-1)+cn^2<0\)
\(an^4+2an^3-an^2-2an+a-n^4+(b-1)n^3+(b+1)n^2-bn+cn^2<0\)
\(\wedge (n\in N)[(a-1)n^4+(2a+b-1)n^3+(b+c-a+1)n^2+(-2a-b)n+a<0]\)

Z (2) i (3) wynika że:
(4)\((a-1)n^4+(b+1)n^3+(2a+c-1)n^2+bn+a-[(a-1)n^4+(2a+b-1)n^3+(b+c-a+1)n^2+(-2a-b)n+a]>0\)
\(\wedge (n\in N)[(2-2a)n^3+(3a-b-2)n^2+(2a+2b)n>0]\)
\(\wedge (n\in N)[n((2-2a)n^2+(3a-b-2)n+(2a+2b))>0]\)
\(\wedge (n\in N)[(2-2a)n^2+(3a-b-2)n+(2a+2b)>0]\)
Zatem:
\( \begin{cases}
2-2a>0 \\
(3a-b-2)^2-4(2-2a)(2a+2b)<0 \\
\end{cases}\)


Brakuje mi jeszcze jakiegoś warunku dla c ale za dużo żmudnego liczenia więc narazie zostawiam to w tej formie może znajdzie się ktoś kto to popchnie dalej

Jest duża szansa że gdzieś w obliczeniach jest błąd także jak ktoś zobaczy to niech napisze punkt i linijke np. (3) linijka 3 zamiast \((bn-n^2)\) powinno być \((frytki+ketchup)\)
Pozdrawiam

Sciurius

Awatar użytkownika
Jerry
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 246
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 119 razy

Re: funkcja kwadratowa

Post autor: Jerry » 19 maja 2020, 16:05

@Sciurius
Zgodzisz się, że
\(\forall_{x\in\rr_+}x^2+3x+2>0\)
Ale
\(\Delta=3^2-4\cdot1\cdot2=1>0\)
Zatem ... potrenowałeś kod \(\LaTeX\)

Pozdrawiam

Sciurius
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 34
Rejestracja: 05 maja 2020, 16:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re: funkcja kwadratowa

Post autor: Sciurius » 20 maja 2020, 11:03

Racja trzeba dodać jeszcze przypadek w którym są dwa rozwiązania ujemne do (4)

PS jak wstawiasz kwantyfikatory?
Pozdrawiam

Sciurius

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14382
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8461 razy
Płeć:

Re: funkcja kwadratowa

Post autor: eresh » 20 maja 2020, 11:09

Sciurius pisze:
20 maja 2020, 11:03
Racja trzeba dodać jeszcze przypadek w którym są dwa rozwiązania ujemne do (4)

PS jak wstawiasz kwantyfikatory?
\exists = \(\exists \)
\forall = \(\forall \)

Awatar użytkownika
Jerry
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 246
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 119 razy

Re: funkcja kwadratowa

Post autor: Jerry » 20 maja 2020, 13:40

Jeśli wolisz polskie, to
\bigwedge_{x} daje \(\bigwedge_{x}\)
\bigvee_{x} daje \(\bigvee_{x}\)

Pozdrawiam