równanie trygonometryczne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
attec18
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 68
Rejestracja: 30 mar 2020, 23:25
Podziękowania: 11 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

równanie trygonometryczne

Post autor: attec18 »

Rozwiąż równanie \(\cos(12x)=5\sin(3x)+9\tg^2x+\ctg^2x\)
Ostatnio zmieniony 12 maja 2020, 00:19 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: Jerry »

Dla \(x\ne k\frac{\pi}{2}\wedge k\in\zz\) mamy:

\(1^\circ\ 3\tg^2 x+\frac{1}{3\tg^2 x}\ge2\iff 9\tg^2x+\ctg^2x\ge 6\)
Równość zachodzi dla \(3\tg^2 x=1\)

\(2^\circ\ \sin 3x\ge-1\iff 5\sin 3x\ge-5\)
Równość zachodzi dla \(\sin 3x=-1\)

\(3^\circ\ \cos 12x\le 1\)
Równość zachodzi dla \(\cos 12 x =1\)

Ponieważ
\(L_R\le 1=-5+6\le P_R\)
to równość zajdzie, o ile \(L_R=P_R=1\), czyli \( \begin{cases}3\tg^2 x=1\\\sin 3x=-1\\ \cos 12 x =1\end{cases} \)

\(\left(x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi\wedge x=-\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}\wedge x=k\frac{\pi}{6}\right)\wedge k\in\zz\)

Odp. \(\left(x=-\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\vee x=\frac{7\pi}{6}+k\cdot 2\pi\right)\wedge k\in\zz\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: panb »

Mógłbyś wyjaśnić tę równoważność:

\( 3\tg^2 x+\frac{1}{3\tg^2 x}\ge2\iff 9\tg^2x+\ctg^2x\ge 6\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: Jerry »

panb pisze: 12 maja 2020, 13:04 Mógłbyś wyjaśnić ...
Nie wiem, od którego momentu... To od początku.

Dla \(a>0\) mamy \(a+\frac{1}{a}\ge2\) i równość dla \(a=1\)

Jeśli \(a=3\tg^2 x\), to
\( 3\tg^2 x+\frac{1}{3\tg^2 x}\ge2\ \ |\cdot 3\)
\( 9\tg^2 x+\frac{1}{\tg^2 x}\ge 6\wedge \frac{1}{\tg^2 x}=\ctg^2 x\)
\( 9\tg^2x+\ctg^2x\ge 6\)

Pozdrawiam
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: kerajs »

Czyli równanie ma szansę zajść jedynie wtedy gdy : 1=-5+6, a stąd układ:
\( \begin{cases} 12x=n2 \pi \\ 3x= \frac{- \pi }{2} +m2 \pi \\ x= \frac{ \pi }{4} +k \frac{ \pi }{2} \end{cases} \)
który jest sprzeczny.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: Jerry »

Proponowany przez Ciebie układ jest sprzeczny, tylko nie wiem skąd wziąłeś równanie:
kerajs pisze: 12 maja 2020, 21:51 \(x= \frac{ \pi }{4} +k \frac{ \pi }{2}\)
Pozdrawiam
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: kerajs »

Z rutyny? Z ignorancji? Z głupoty?

Równanie o które pytasz jest błędne, gdyż nierówność:
\(3\tg ^2x + \frac{1}{3\tg ^2x} \ge 2\)
staje się równością
\(3\tg ^2x + \frac{1}{3\tg ^2x} = 2\)
dla
\(\tg ^2x = \frac{1}{3} \)
więc tam powinno być:
\(x= \frac{ \pi }{6} +k \pi \ \ \ \vee \ \ \ x= \frac{ - \pi }{6} +k \pi\)

SORRY!
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: radagast »

Tak to wygląda :
Adnotacja 2020-05-13 072737.png
Adnotacja 2020-05-13 072737.png (8.93 KiB) Przejrzano 1619 razy
wiec z tym \( \frac{\pi}{6} \) trzeba coś poprawić :(
ODPOWIEDZ