równanie trygonometryczne z wartością bezwzględną

[rubbishbin_]

Wskaż zbiór wszystkich rozwiązań równania \( \left |\cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha\right | = 3\)
A. {α: α = \(n \cdot 60°\), n jest dowolną liczbą całkowitą}
B. {α: α = \(n \cdot 90°\), n jest dowolną liczbą całkowitą}
C. {α: α = \(n \cdot 180°\), n jest dowolną liczbą całkowitą}
D. {α: α = \(n \cdot 360°\), n jest dowolną liczbą całkowitą}

Wpadłam na pomysł by każdego cosinusa przyrównać do 1 i -1, ale nie mam zupełnie pomysłu jak później połączyć te wszystkie rozwiązania w jedno, żeby móc wybrać którąś z odpowiedzi :/

[Jerry]

Ponieważ jest to zadanie zamknięte, to wystarczy posprawdzać:
A. \(\alpha=60^\circ...\) źle
B. \(\alpha=90^\circ...\) źle
C. \(\alpha=180^\circ...\) dobrze,
D. \(\alpha=360^\circ...\) też dobrze, ale zawiera się w zbiorze C. !

Pozdrawiam

[Sciurius]

Traktując tak jakby było otwarte

\(|cos(\alpha) + cos(3\alpha) + cos(5\alpha) |=3\)

Tak jak napisałaś jedynymi możliwymi rozwiązaniami są:

\(cos(\alpha)=1\) i \(cos(3\alpha)=1\) i \(cos(5\alpha)=1\)

lub

\(cos(\alpha)=-1\) i \(cos(3\alpha)=-1\) i \(cos(5\alpha)=-1\)

Weźmy pierwszy ukłas rónań jego rozwiązaniem są takie \(\alpha\) że:

\(\alpha=2n\pi\) i \(3\alpha=2m\pi\) i \(5\alpha=2k\pi\) gdzie \(n,m,k\in Z\)
\(\alpha=2n\pi\) i \(\alpha=2m\pi/3\) i \(\alpha=2k\pi/5\) gdzie \(n,m,k\in Z\)

W tym przypadku złożenie rozwiązań jest bardzo proste bo z równania \(\alpha=2n\pi\) wynika że \(\alpha\) musi być parzystą wielokrotnością \(\pi\) więc wszystkie ułamki odpadają a jak wstawimy odpowiednio: \(m=3n\) i \(m=5k\) to z pozostałych dwóch równań zrobią nam się także: \(\alpha=2n\pi\) zatem rozwiązaniem tego układu jest \(\alpha=2n\pi\) gdzie \(n\in Z\)

Rozwiązując drugi układ otrzymujemy:
\(\alpha=\pi +2n\pi\) i \(3\alpha=\pi +2m\pi\) i \(5\alpha=\pi +2k\pi\) gdzie \(n,m,k\in Z\)
\(\alpha=\pi +2n\pi\) i \(\alpha=\pi /3 +2m\pi /3\) i \(\alpha=\pi /5 +2k\pi /5\) gdzie \(n,m,k\in Z\)

I właściwie tak samo jak w pierwszym układzie równanie \(\alpha=\pi +2n\pi =(2n+1)\pi\) determinuje że \(\alpha\) musi być nieparzystą wielokrotnością \(\pi\) i postępując analogicznie otrzymujemy rozwiązanie drugiego układu czyli: \(\alpha=\pi +2n\pi\)

Jeśli chodzi o składanie rozwiązań układów razem to to jest już proste bo mamy:

\(\alpha=\pi +2n\pi =(2n+1)\pi\) lub \(\alpha=2m\pi\) gdzie \(n,m\in Z\)

w pierwszym \(\alpha\) jest nieparzystą a w drugim parzystą wielokrotnością \(\pi\) więc łatwo można zauważyć że razem dadzą całkowitą wielokrotność \(\pi\) czyli \(\alpha=n\pi\) gdzie \(n\in Z\)

Jeśli nie jest to dla ciebie intuicyjne (dla nikogo nie było od zawsze ) to zawsze możesz poprostu wstawić trochę kolejnych liczb i tak rozwiązania pierwszego równania:
\(\alpha=2n\pi\) \(\to\) kolejno dla \(n=...,0,1,2,3,...\): \(\alpha=...,0,2\pi,4\pi,6\pi,8\pi,10\pi,...\)
\(\alpha=2m\pi /3\) \(\to\) kolejno dla \(m=...,0,1,2,3,...\): \(\alpha=...,0,2\pi /3,4\pi /3,2\pi,8\pi /3,10\pi /3,4\pi,...\)
\(\alpha=2k\pi /5\) \(\to\) kolejno dla \(k=...,0,1,2,3,...\): \(\alpha=...,0,2\pi /5,4\pi /5,6\pi /5,8\pi /5,2\pi,12 \pi /5,14\pi /5,16\pi /5,18\pi /5,4\pi,...\)
i łatwo zauważyć że powtarzają się \(0,2\pi,4\pi,...\) czyli\(2n\pi\) analogicznie można zrobić drugi układ równań i złożyć rozwiązania dwóch układów równań nie jest to dokońca poprawne, ale jak będziesz ostrożna i niczego nie zepsujesz (przede wszystkim wypiszesz wystarczająco dużo liczb to będzie wychodzić

[Sciurius]

oczywiści \(\pi = 180\) stopni, zapomniałem wpisać wyżej a widzę że używasz stopni w trygonometrii łatwiej używać \(\pi\), dlatego też używałem wyżej właśnie takiego zapisu