Wyznacz pierwiastki równania

[Tarkoczinko]

Wyznacz pierwiastki równania \(\sin 2x + \sin 3x +\sin 4x = 0\) należące do przedziału \( <50\pi, 100\pi>\).

[eresh]

Wyznacz pierwiastki równania sin2x + sin3x + sin4x = 0 należące do przedziału 〈50π, 100π〉.

\(\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0\\
2\sin 3x\cos (-x)+\sin 3x=0\\
2\sin 3x\cos x+\sin 3x=0\\
\sin 3x(2\cos x+1)=0\\
\sin 3x=0\;\;\vee\;\;\cos x=-\frac{1}{2}\\
3x=k\pi\;\;\vee\;\;x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi\;\;\;\vee\;\;x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\\
x=\frac{k\pi}{3}\;\;\;\vee\;\;x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi\;\;\;\vee\;\;x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\;\;\;k\in\mathbb{C}\)

czyli wszystkie rozwiązania są postaci \(x=\frac{k\pi}{3}\)
należące do danego przedziału, to:
\(50\pi, \frac{151}{3}\pi, \frac{152\pi}{3}, 51\pi, ..., 100\pi\)

[hlleric42]

Ja to równanie zapisałem w postaci:
\( 8sinx(cosx+ \frac{1}{2})^2(cosx- \frac{1}{2} ) = 0 \)
Zgodnie z tym mamy
\(sinx = 0 \vee cosx = -\frac{1}{2} \vee cosx = \frac{1}{2}\)
\( x = k \pi \vee cosx = \frac{2 \pi }{3} + 2k \pi \vee cosx = \frac{4 \pi }{3} + 2k \pi \vee cosx = \frac{\pi }{3} + 2k\pi \vee cosx = -\frac{ \pi }{3} + 2k\pi\)

[Jerry]

Ja to równanie zapisałem w postaci:
\( 8sinx(cosx+ \frac{1}{2})^2(cosx- \frac{1}{2} ) = 0 \)

Pracowita, choć formalnie poprawna, droga...

\( \ldots \vee cosx = \frac{2 \pi }{3} + 2k \pi \vee cosx = \frac{4 \pi }{3} + 2k \pi \vee cosx = \frac{\pi }{3} + 2k\pi \vee cosx = -\frac{ \pi }{3} + 2k\pi\)

raczej
\(x = \frac{2 \pi }{3} + 2k \pi \vee x = \frac{4 \pi }{3} + 2k \pi \vee x = \frac{\pi }{3} + 2k\pi \vee x = -\frac{ \pi }{3} + 2k\pi\), gdzie \(k\in\zz\)
a najładniej: \(x=k\cdot\frac{ \pi }{3}\wedge k\in\zz\)

Pozdrawiam