Dzielenia wielomianów z resztą.

[not_a_genius]

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x) = x^4+ x + 3\) przez wielomian \(P(x)\) jest równa \(x + 4\), zaś reszta z dzielenia wielomianu \(H(x) = x^4 + x^3 – x^2 + 2\) przez ten sam wielomian \(P(x)\) jest równa \(x + 2\). Wyznacz wielomian \(P(x)\), jeżeli wiadomo, że współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomej w tym wielomianie jest równy \(1\).

\(
W(x)=Q(x)\cdot P(x) + x + 4\\
H(x)=M(x) \cdot P(x) + x + 2
\)

Zapisałem tylko tyle, dalej nie wiem jak to rozwiązać

[eresh]

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x) = x^4+ x + 3\) przez wielomian \(P(x)\) jest równa \(x + 4\), zaś reszta z dzielenia wielomianu \(H(x) = x^4 + x^3 – x^2 + 2\) przez ten sam wielomian \(P(x)\) jest równa \(x + 2\). Wyznacz wielomian \(P(x)\), jeżeli wiadomo, że współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomej w tym wielomianie jest równy \(1\).

\(
W(x)=Q(x)\cdot P(x) + x + 4\\
H(x)=M(x) \cdot P(x) + x + 2
\)

Zapisałem tylko tyle, dalej nie wiem jak to rozwiązać

\(W(x)=x^4+x+3=x^4+x+4-1=x^4-x+x+4=(x^2+1)(x-1)(x+1)+x+4=Q(x)P(x)+x+4\\
\)

\(H(x)=x^4+x^3-x^2+2=x^4+x^3-x^2+x+2-x=x^4+x^3-x^2-x+x+2=\\=x^3(x+1)-x(x+1)+x+2=(x+1)(x^3-x)+x+2=x(x+1)(x-1)(x+1)+x+2=\\=(x^2+x)(x-1)(x+1)=M(x)P(x)+x+2\)

\(P(x)=(x+1)(x-1)\)