Liczby p i q są pierwiastkami równania \(x^2 − 40x + 8 = 0\) . Wykaż, że wartość wyrażenia \( \sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{q} \) jest liczbą naturalną.
wzory vieta: \(
p+q=40 \) \(
p*q=8
\)
oznaczylam jako \( x = \sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{q} \)
podniosłam do 3 potegi
wyszlo mi \( x^3 = p +3*\sqrt[3]{p*q^2} + 3*\sqrt[3]{p^2*q} +q \)
dalej wylaczam przed nawias i wstawiam gdzie to mozliwe wzory: \( x^3 = 40 + 3\sqrt[3]{8} *(\sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{q} )\)
otrzymuje w nawiasie znow ten x i nie wiem co dalej, czekam na jakies wskazówki
(Masz konflikt oznaczeń) \(X^3=6X+40\)
Znajdź pierwiastek wymierny tego równania.
Ciut inaczej: \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\\
(a+b)((a+b)^2-3ab)=a^3+b^3\)
Sumę pierwiastków oznaczę jakoś inaczej (a nie x) np: k, a wtedy \(k(k^2-3 \sqrt[3]{8} )=40\\
k^3-6k-40=0\\
(k-4)(k^2+4k+10)=0\\
k=4\)
