Rozwiąż nierówność

[anything1327]

1) \(\frac{x}{x+1} \ge x \)

2) \(1 + \frac{4}{x-1} > \frac{x-1}{x-3} \)

3) \(\frac{x + |x+2|}{x+1} \ge 1 \)

4) \(\frac{1}{x^3-x} \le \frac{1}{|x|} \)

Z góry dziękuje za rozwiązanie

[eresh]

1) \(\frac{x}{x+1} \ge x \)

\(x\neq 1\\
\frac{x-x(x+1)}{x+1}\geq 0\\
\frac{x-x^2-x}{x+1}\geq 0\\
-x^2(x+1)\geq 0\\
x\in (-\infty, -1)\cup \{0\}\)

[eresh]

2) \(1 + \frac{4}{x-1} > \frac{x-1}{x-3} \)

\(1 + \frac{4}{x-1} > \frac{x-1}{x-3} \\
x\neq 1\;\; \wedge \;\;x\neq 3\\
\frac{x-1+4}{x-1}-\frac{x-1}{x-3}>0\\
\frac{x+3}{x-1}-\frac{x-1}{x-3}>0\\
\frac{(x+3)(x-3)-(x-1)(x-1)}{(x-1)(x-3)}>0\\
\frac{x^2-9-x^2+2x-1}{(x-1)(x-3)}>0\\
\frac{2x-10}{(x-1)(x-3)}>0\\
2(x-5)(x-1)(x-3)>0\\
x\in (1,3)\cup (5,\infty)\)

[eresh]

3) \(\frac{x + |x+2|}{x+1} \ge 1 \)

\(x\neq -1\\\)

1. \(x\geq -2\;\; \wedge \;\;x\neq -1
\)

\(\frac{x+x+2}{x+1}\geq 1\\
\frac{2x+2}{x+1}\geq 1\\
\frac{2x+2-x-1}{x+1}\geq 0
1\geq 0\\
x\in [-2,-1)\cup (-1,\infty)\)

2.
\(x<-2\\
\frac{x-x-2}{x+1}\geq 1\\
\frac{-2}{x+1}\geq 1\\
\frac{-2-x-1}{x+1}\geq 0\\
(-x-3)(x+1)\geq 0\\
x\in [-3,-1)\)

bierzemy sumę obu przypadków:
odp \(m\in [-3,-1)\cup (-1,\infty)\)

[eresh]

4) \(\frac{1}{x^3-x} \le \frac{1}{|x|} \)

Z góry dziękuje za rozwiązanie

\(x\neq 0 \wedge x\neq -1\wedge x\neq -1\\
\)

1. dla \(x>0\)
\(\frac{1}{x^3-x}-\frac{1}{x}\leq 0\\
\frac{1-x^2+1}{x(x-1)(x+1)}\leq 0\\
(\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)(x-1)(x+1)x\leq 0\\
x\in[-\sqrt{2},-1)\cup (0,1)\cup [\sqrt{2},\infty)\;\;\wedge \;\;x>0\\
x\in (0,1)\cup [\sqrt{2},\infty)\)


2. dla \(x<0\)
\(\frac{1}{x^3-x}\leq -\frac{1}{x}\\
\frac{1+(x^2-1)}{x(x-1)(x+1)}\leq 0\\
x^3(x-1)(x+1)\leq 0\;\;\wedge\;\;x<0\\
x\in (-\infty, -1)
\)

odp \(x\in (-\infty, -1)\cup (0,1)\cup [\sqrt{2},\infty)\)

[Jerry]

4) \(\frac{1}{x^3-x} \le \frac{1}{|x|} \)

\(f(x)=\frac{1}{x^3-x} - \frac{1}{|x|}=\frac{|x|}{|x|\cdot x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)(x+1)}{|x|\cdot x(x-1)(x+1)}=\\
= \frac{|x|-x(x-1)(x+1)}{|x|\cdot x(x-1)(x+1)}= \begin{cases} \frac{-x-x(x-1)(x+1)}{-x\cdot x(x-1)(x+1)}&\text{dla}\ x<0\wedge x\ne -1
\\
\frac{x-x(x-1)(x+1)}{x\cdot x(x-1)(x+1)}&\text{dla}\ x>0\wedge x\ne 1\end{cases} \)

\(f(x)=\begin{cases} \frac{x}{ (x-1)(x+1)}&\text{dla }\ x<0\wedge x\ne -1
\\
\frac{-(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{ x(x-1)(x+1)}&\text{dla }\ x>0\wedge x\ne 1\end{cases} \)

Pozostaje w obydwu przypadkach rozwiązać nieskomplikowane nierówności i zebrać odpowiedzi w jedną...

Pozdrawiam