Trygonometria równania

[rubbishbin_]

cos(5x) - sin(3x) = cos(x)

sin(x) - sin(2x) - sin(3x) = 0

Pomocy.. męczę się nad tym godzinę. Próbowałam wzoru na różnicę, ale nic mi z tego nie wychodzi.

[eresh]

\(\cos 5x-\sin 3x=\cos x\\
\cos 5x-\cos x-\sin 3x=0\\
-2\sin\frac{5x+x}{2}\sin\frac{5x-x}{2}-\sin 3x=0\\
-2\sin 3x\sin 2x-\sin 3x=0\\
-\sin 3x(2\sin 2x+1)=0\\
\sin 3x=0\;\;\; \vee \;\;\;\sin 2x=-\frac{1}{2}\)
dalej już łatwo

[rubbishbin_]

Faktycznie, dziękuję!

[rubbishbin_]

\(\cos 5x-\sin 3x=\cos x\\
\cos 5x-\cos x-\sin 3x=0\\
-2\sin\frac{5x+x}{2}\sin\frac{5x-x}{2}-\sin 3x=0\\
-2\sin 3x\sin 2x-\sin 3x=0\\
-\sin 3x(2\sin 2x+1)=0\\
\sin 3x=0\;\;\; \vee \;\;\;\sin 2x=-\frac{1}{2}\)
dalej już łatwo

Mógłbyś mi jeszcze pomóc z tym drugim?

[eresh]

\(\sin 2x=-\frac{1}{2}\\
2x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\vee\;\;2x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{C}\\
x=-\frac{\pi}{12}+k\pi\;\;\vee\;\;x=-\frac{5\pi}{12}+k\pi\)

[rubbishbin_]

\(\sin 2x=-\frac{1}{2}\\
2x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\;\;\vee\;\;2x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{C}\\
x=-\frac{\pi}{12}+k\pi\;\;\vee\;\;x=-\frac{5\pi}{12}+k\pi\)

Przepraszam, źle zaznaczyłam. Miałam na myśli to drugie równanie:

sin(x) - sin(2x) - sin(3x) = 0

[Galen]

\(sin2x=2sinx cosx\\sin3x=sinx(3-4sin^2x)\\wstaw \;do\;równania\\
sinx-sin2x-sin3x=0\\sinx-2sinx cosx-sinx(3-4sin^2x)=0\\sinx[1-2cosx-3+4(1-cos^2x)]=0\\sinx[-4cos^2x-2cosx+2]=0\\sinx=0\;\;\;lub\;\;\;-4cos^2x-2cosx+2=0\\Podstaw\;cosx=t\\-4t^2-2t+2=0\\2t^2+t-1=0\\\Delta=9=3^2\\t_1=\frac{1}{2}\\t_2=-1\\Ostatecznie\\sinx=0\;\;\;lub\;\;\;cosx=\frac{1}{2}\;\;\;lub\;\;\;cosx=-1\)
Dalej umiesz...

[eresh]

sin(x) - sin(2x) - sin(3x) = 0

\(\sin x-\sin 2x-\sin 3x=0\\
\sin x-2\sin \frac{x+2x}{2}-\sin (x+2x)=0\\
\sin x-2\sin x\cos x-\sin 2x\cos x-\cos 2x\sin x=0\\
\sin x-2\sin x\cos x-2\sin x\cos^2 x-\sin x(1-2\sin^2x)=0\\
\sin x-2\sin x\cos x-2\sin x(1-\sin^2x)-\sin x+2\sin^3x=0\\
\sin x-2\sin x\cos x-2\sin x+2\sin^3x-\sin x+2\sin^3x=0\\
4\sin^3-2\sin x-2\sin x\cos x=0
\sin x(4\sin^2x-2-2\cos x)=0\\
\sin x(4-4\cos^2x-2-2\cos x)=0\\
\sin x(-4\cos ^2x-2\cos x+2)=0\\
\sin x=0\;\;\vee\;\;-4\cos^2x-2\cos x+2=0
\)
w drugim podstawienie \(\cos x=t\)

[Jerry]

sin(x) - sin(2x) - sin(3x) = 0

Trochę inaczej

\((\sin 3x-\sin x)+\sin 2x=0\\
2\sin x\cos 2x+2\sin x\cos x=0\\
2\sin x(\cos 2x+\cos x)=0\\
2\sin x\cdot 2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}=0\\
\sin x=0\vee \cos\frac{3x}{2}=0\vee \cos\frac{x}{2}=0\\
\cdots\)

Pozdrawiam