Rozwiąż równanie

[Aguś56]

Rozwiąż równanie \([ \frac{1}{3}x+ \frac{1}{3} ]= \frac{x-1}{2} \)
symbol [a] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od a.

[Galen]

\(\frac{x+1}{3}=\frac{x-1}{2}\\3x-3=2x+2\\x=5\\L=[\frac{5}{3}+\frac{1}{3}]=2\\P=\frac{5-1}{2}=2\\L=P\;\;\;\;dla\;\;\;\;x=5\)
Lewa strona równania jest liczbą całkowitą,to i prawa musi być całkowita.
\(P=\frac{x-1}{2}\in C\)
Licznik x-1 musi być liczbą parzystą.Trzeba dobrać wartość x i policzyć dla tej wartości również lewą stronę.
\(x=1\;\;\;\;P=0\;\;\;\;L=[\frac{2}{3}]=0\\x=-1\;\;\;\;\;P=-1\;\;\;\;\;\;L=[\frac{0}{3}]\neq P\)
\(x=3\;\;\;\;\;P=1\;\;\;\;\;L=[\frac{4}{3}]=1\;\;\;\;\;\;\;L=P\\
x=5\;\;\;\;\;\;P=2\;\;\;\;\;\;\;L=[\frac{6}{3}]=2\;\;\;\;\;\;\;L=P\\
x=7\;\;\;\;\;\;P=3\;\;\;\;\;\;\;\;L=[\frac{8}{3}]=2\;\;\;\;\;\;L\neq P\\
x=9\;\;\;\;\;\;P=4\;\;\;\;\;\;\;\;L=[\frac{10}{3}]=3\;\;\;\;\;L\neq P\\
x=11\;\;\;\;\;P=5\;\;\;\;\;\;\;\;L=[\frac{12}{3}]=4\;\;\;\;\;\;\;\;L\neq P\)
Dalsze obliczenia już nie dadzą nowych x,bo P>L

[Jerry]

\(x=5\)

Rozwiązaniami danego równania, łatwo sprawdzić, są również \(1\) i \(3\)...

-) Ponieważ cecha jest całkowita, to podejrzane o spełnienie równania są liczby nieparzyste
-) Z własności cechy: \(y-1<[y]\le y\) mamy ograniczenie:
\(\frac{1}{3}x+ \frac{1}{3} -1< \frac{x-1}{2}\le \frac{1}{3}x+ \frac{1}{3} \)

Pozostaje rozwiązać układ nierówności, wybrać z rozwiązania całkowite nieparzyste i sprawdzić wyjściowe równanie...

Pozdrawiam

[panb]

Oczywiście liczba 5 spełnia równanie, ale ... nie tylko
\(\lfloor \frac{1}{3} x+ \frac{1}{3 } \rfloor= \frac{x-1}{2} \iff \frac{x-1}{2}=k\in \cc \wedge \lfloor \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \rfloor=k \\
\frac{x-1}{2}=k \So x=2k+1\\
\lfloor \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \rfloor=k \iff \lfloor\frac{2}{3}(k+1)\rfloor=k\\
k=-1\So \lfloor \frac{2}{3}(k+1)\rfloor=0\neq k\\
k=0 \So \lfloor\frac{2}{3}(k+1)\rfloor =\lfloor \frac{2}{3} \rfloor =0=k\\
k=1 \So \lfloor\frac{2}{3}(k+1)\rfloor=\lfloor \frac{4}{3} \rfloor=1=k\\
k=2 \So \lfloor\frac{2}{3}(k+1)\rfloor=\lfloor 2 \rfloor =2\\
k=3 \So \lfloor\frac{2}{3}(k+1)\rfloor=\lfloor 2\frac{2}{3} \rfloor=2\neq k\)

Zatem są trzy rozwiązania:
\(k=0 \So x=1, \quad k=1 \So x=3,\quad k=2 \So x=5\)

Odpowiedź: \(\lfloor \frac{1}{3} x+ \frac{1}{3 } \rfloor= \frac{x-1}{2} \iff x\in \{1, 3, 5\}\)