Rozwiąż równanie.
\((2+ \sqrt{3})^x+(2- \sqrt{3})^x\)=4
Równanie wykładnicze
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Równanie wykładnicze
Wskazówka: \(2-\sqrt{3}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}.\) Pomnóz obustronnie przez \(2+\sqrt{3}\) i wstaw nową zmienną \(t=(2+\sqrt{3})^x\), a dojdziesz do równania kwadratowego.
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Równanie wykładnicze
Spoiler
\((2+ \sqrt{3})^x+(2- \sqrt{3})^x=4\\
(2+\sqrt{3})^x+\frac{1}{(2+\sqrt{3})^x}=4\\
(2+\sqrt{3})^x=t\\
t+\frac{1}{t}=4\\
t^2+1=4t\\
t^2-4t+1=0\\
\Delta = 12=(2\sqrt{3})^2\\
t_1=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\\
t_2=2+\sqrt{3}\\
(2+\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\So x=-1\\
(2-\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\So x=1\)
(2+\sqrt{3})^x+\frac{1}{(2+\sqrt{3})^x}=4\\
(2+\sqrt{3})^x=t\\
t+\frac{1}{t}=4\\
t^2+1=4t\\
t^2-4t+1=0\\
\Delta = 12=(2\sqrt{3})^2\\
t_1=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\\
t_2=2+\sqrt{3}\\
(2+\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\So x=-1\\
(2-\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\So x=1\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Re: Równanie wykładnicze
Zauważ,że \((2+\sqrt{3})\cdot (2-\sqrt{3})=4-3=1\\stąd\\2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=(2+\sqrt{3})^{-1}\\2+\sqrt{3}=t\\t^x+\frac{1}{t^x}=4\;/\cdot t^x\\(t^x)^2-4t^x+1=0\\wstaw\;t^x=u\;\;i\;\;u>0\\u^2-4u+1=0\\u_1=2-\sqrt{3}\;\;czyli\;\;(2+\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\;\;\;stąd\;\;x_1=-1\\u_2=2+\sqrt{3}\;\;\;\;czyli\;\;(2+\sqrt{3})^x=2+\sqrt{3}\;\;\;stąd\;\;\;x_2=1\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.