Parametr m

[anything1327]

Dla jakich wartości parametru \(m\) różne rozwiązania \(x_1, x_2\) równania \(x^2 + 2x + m - 1 = 0\) spełniają warunek \(|x_1| + |x_2| \leqslant 3\)?

[grdv10]

Wyróżnikiem jest \(\Delta=4(2-m)\). Mamy \(\Delta>0\iff m<2.\) Wtedy istnieją dwa rozwiązania równania.

Wzory Viete'a będą tu mało użyteczne. Liczymy bezpośrednio pierwiastki: \(x_1=-1-\sqrt{2-m}\), \(x_2=-1+\sqrt{2-m}.\) Nierówność \(|x_1|+|x_2|\leqslant 3\) ma postać\[|-1-\sqrt{2-m}|+|-1+\sqrt{2-m}|\leqslant 3.\]W pierwszym module można skasować minus i mamy nieco prostszą postać:\[|\sqrt{2-m}+1|+|\sqrt{2-m}-1|\leqslant 3.\]Teraz wstawiamy \(t=\sqrt{2-m}\) (oczywiście \(t\geqslant 0\)).Dochodzimy do nierówności\[|t+1|+|t-1|\leqslant 3,\] której rozwiązania (po uwzględnieniu \(t\geqslant 0\)) spełniają warunek \(0\leqslant t\leqslant\dfrac{3}{2}.\) Dochodzimy więc do nierówności\[0\leqslant \sqrt{2-m}\leqslant\frac{3}{2}.\]Lewa nierówność jest prawdziwa. Po podniesieniu do kwadratu mamy \(2-m\leqslant\dfrac{9}{4},\) czyli \(m\geqslant-\dfrac{1}{4}.\) Biorąc pod uwagę warunek \(m<2\), mamy\[m\in\left\langle-\frac{1}{4},2\right\rangle.\]

[Jerry]

Z wzorów Viete'a, oczywiście po uwzględnieniu \(\Delta > 0\), też idzie nie najgorzej:

\(|x_1| + |x_2| = \sqrt{(|x_1| + |x_2|)^2}=\sqrt{(x_1 + x_2)^2-2x_1x_2+2|x_1x_2|}=\sqrt{(-2)^2-2(m-1)+2|m-1|}\)

Pozostaje rozwiązać nierówność...

Pozdrawiam