Dany jest trójkąt równoramienny ABC, którego kąt przy podstawie ma miarę

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
TomaszSy
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 67
Rejestracja: 04 sty 2020, 18:58
Podziękowania: 40 razy

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, którego kąt przy podstawie ma miarę

Post autor: TomaszSy »

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), którego kąt przy podstawie ma miarę \( \alpha\) .
Uzasadnij że stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest mniejszy równy \(\frac{1}{2}\) .

Obliczyłem że ten stosunek wynosi \(2(1-cos \alpha ) cos \alpha \) ale jak udowodnić że jest mniejszy lub równy od \(\frac{1}{2}\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Dany jest trójkąt równoramienny ABC, którego kąt przy podstawie ma miarę

Post autor: eresh »

\(0<\alpha<90^{\circ}\So \cos\alpha\in (0,1)\)
\(W=2(1-\cos\alpha)\cos \alpha=2\cos\alpha-2\cos^2\alpha\\
f(t)=2t-2t^2\;t\in (0,1)\\
p=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\\\)

f przyjmuje wartość największą równą \(\frac{1}{2}\), zatem \(W\leq\frac{1}{2}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ