Uzasadnij, że równanie spełnia dokładnie jedna liczba rzeczywista

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
TomaszSy
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 67
Rejestracja: 04 sty 2020, 18:58
Podziękowania: 40 razy

Uzasadnij, że równanie spełnia dokładnie jedna liczba rzeczywista

Post autor: TomaszSy »

Uzasadnij, że równanie \(3x^5-10x^3+30x-10=0\) spełnia dokładnie jedna liczba rzeczywista .
Ponadto uzasadnij, że liczba ta jest pomiędzy \(0\) a \(1\).

Bardzo proszę o pomoc
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Uzasadnij, że równanie spełnia dokładnie jedna liczba rzeczywista

Post autor: eresh »

\(W(x)=3x^5-10x^3+30x-10\\
W'(x)=15x^4-30x^2+30\\
W'(x)=15(x^4-2x^2+30)\\\)

W'(x)>0 dla każdego x, zatem funkcja W jest rosnąca
\(\Lim_{x\to\infty}W(x)=+\infty\\
\Lim_{x\to \infty}W(x)=-\infty\)

skoro wartości funkcji rosną od \(-\infty\) do \(+\infty\), to musi mieć miejsce zerowe

W jest ciągła (bo to wielomian)
\(W(0)=-10\\
W(1)=13\)

więc na mocy twierdzenia Darboux istnieje takie \(a\in *0,1)\) że W(a)=0
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ