Rozwiąż równanie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
lolipop692
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 267
Rejestracja: 30 paź 2018, 23:03
Podziękowania: 120 razy
Płeć:

Rozwiąż równanie

Post autor: lolipop692 »

\( \log _{x}2+log_{8x}2=log_{4x}4\)
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: grdv10 »

Robimy założenia o podstawach logarytmów (jakie?). Następnie korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu tak, aby mieć wszędzie wspólną podstawę \(2\), a jeszcze lepiej, żeby w równaniu występowała tylko liczba \(\log_2x.\) Wtedy wstawiamy nową zmienną, \(t=\log_2x.\) Dojdziemy do równania \(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{3+t}=\dfrac{2}{2+t}.\)

Odp. \(x=\frac{1}{64}\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: panb »

Wzory:
\(\log_ab= \frac{1}{\log_ba} \) (z wzoru na zmianę podstawy logarytmu)

Wobec tego zadanie będzie wyglądało tak:
\( \frac{1}{\log_2x} + \frac{1}{\log_2(8x)} = \frac{1}{\log_4(4x)} \iff \frac{1}{\log_2x} + \frac{1}{\log_2x+3} = \frac{2}{\log_2x+2} ,\,\,\, x\in \rr_+ \bez \left\{ \frac{1}{8} , \frac{1}{4} , 1\right\} \)

Podstawiając \( \log_2x =t \) otrzymujemy równanie:
\[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t+3} = \frac{2}{t+2} \]
Rozwiązaniem tego równania jest t=-6, więc

Odpowiedź: \(x= \frac{1}{64}\)

ODPOWIEDZ