równanie

[Aguś56]

Rozwiąż równanie
\(3*16^×+36^×=2*81^x\)

[grdv10]

Wskazówka: zapisz \(16^4=4^x\cdot 4^x,\ 36^x=4^x\cdot 9^x,\ 81^x=9^x\cdot 9^x\). Następnie zapisz równanie tak, aby wystąpiły w nim tylko potęgi liczby \(\frac{4}{9}.\) Dojdziesz w ten sposób to pewnego równania kwadratowego.

Odp. \(x=\frac{1}{2}\)

[Galen]

\(3\cdot 16^x+36^x=2\cdot 81^x\;/:36^x\)
\(3\cdot(\frac{16}{36})^x+1=2\cdot (\frac{81}{36})^x\)
\(3\cdot(\frac{4}{9})^x+1=2\cdot(\frac{9}{4})^x\\podstaw \;\;(\frac{4}{9})^x=t\;\;\;\;\;wtedy\;\;\;\;(\frac{9}{4})^x=\frac{1}{t}\\3t+1-\frac{2}{t}=0\\3t^2+t-2=0\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;t>0\\t_1=-1\;\;\;sprzeczność\\t_2=\frac{2}{3}\\

(\frac{4}{9})^x=\frac{2}{3}\\x=\frac{1}{2}\)