ciąg geometryczny

[CarotaMiszczu]

Wyznacz wszystkie wartości parametrów \(a,b \in R\), dla których równanie \(x^2-4x+a=0\) ma dwa różne pierwiastki x1, x2 oraz równanie \(x^2-36x+b=0\) ma dwa różne pierwiastki x3, x4 takie, że ciąg (x1, x2, x3, x4) jest ciągiem geometrycznym.

[panb]

Najpierw warunki jakie muszą spełniać parametry a i b:

• \(\begin{cases} 16-4a>0 \iff a<4 \\1296-4b>0 \iff b<324 \end{cases}\)

Zgodnie z warunkami zadania liczby

• \(x_1=t, \,\, x_2=tq, \,\,x_3=tq^2,\,\, x_4=tq^3\)

są pierwiastkami odpowiednich równań, więc
\((x-t)(x-tq)\equiv x^2-4x+a \So \begin{cases} tq+t=4\\a=t^2q\end{cases}\\
(x-tq^2)(x-tq^3) \equiv x^2-36x+b \So \begin{cases}tq^3+tq^2=36\\b=t^2q^5 \end{cases}\)

Jeśli znajdziemy wartości t i q, to będzie można znaleźć odpowiadające im wartości a i b.
Wartości t i q znajdziemy rozwiązując układ równań: \(\begin{cases} tq+t=4\\tq^3+tq^2=36\end{cases}\)

Rozwiązaniami tego układu są pary liczb \(\begin{cases} q=3\\t=1\end{cases} \text{ oraz } \begin{cases} q=-3\\t=-2\end{cases}\), które dają odpowiednio wartości

• a=3, b=243 oraz a=-12, b=-972

Wszystkie te wartości spełniają warunki początkowe, więc

Odpowiedź: \(a=3,\,\, b=243\) lub \(a=-12, \,\, b=-972\)

P.S. Odpowiadające im ciągi to \(\left(1,3,9,27 \right)\) oraz \(\left( -2,6,-18,54\right)\)