Wykaż że

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
hehebela
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 20
Rejestracja: 19 mar 2019, 21:18
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Wykaż że

Post autor: hehebela » 29 mar 2019, 19:19

Wykaż, że wielomian x^4 + 3x + 1 nie jest iloczynem dwóch wielomianów drugiego
stopnia o współczynnikach całkowitych

radagast
Guru
Guru
Posty: 16705
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 7051 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 29 mar 2019, 20:47

Załóżmy, że jest czyli \(x^4 + 3x + 1=(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_2x^2+b_2x+c_2),\ \ \ a_1,b_1,c_1, a_2,b_2,c_2 \in Z\)
wtedy \(c_1c_2=1\) oraz \(a_1a_2=1\) czyli

\(\begin{cases}c_1=1 \\ c_2=1 \end{cases} \vee \begin{cases} c_1=-1 \\ c_2=-1\end{cases}\)oraz \(\begin{cases}a_1=1 \\ a_2=1 \end{cases} \vee \begin{cases} a_1=-1 \\ a_2=-1\end{cases}\)czyli

\(\begin{cases}c_1=1 \\ c_2=1\\a_1=1 \\ a_2=1 \end{cases} \vee \begin{cases}c_1=1 \\ c_2=1\\a_1=-1 \\ a_2=-1 \end{cases} \vee \begin{cases}c_1=-1 \\ c_2=-1\\a_1=1 \\ a_2=1 \end{cases} \vee \begin{cases}c_1=-1 \\ c_2=-1\\a_1=-1 \\ a_2=-1 \end{cases}\)każdy z tych czterech przypadków daje sprzeczność.
Sprawdzę tylko pierwszy resztę pozostawiając Tobie:
\(\)
\(x^4 + 3x + 1=(x^2+b_1x+1)(x^2+b_2x+1)=\\
x^4+b_1x^3+x^2+b_2x^3+b_1b_2x^2+b_2x+x^2+b_1x+1=\\
x^4+(b_1+b_2)x^3+(2+b_1b_2)x^2+(b_1+b_2)x+1\)

stąd
\(\begin{cases} b_1+b_2=0\\b_1+b_2=3\end{cases}\) - sprzeczność