forum.zadania.info

1 Z odcinków o długościach a, b, c można zbudować trójkąt. Wykaż, że z odcinków
o długościach 1/a+b, 1/b+c, 1/c+a też można zbudować trójkąt.


2 Wykaż, że dla nieujemnych a, b zachodzi nierówność a^3+b^9/4 > 3ab^3-16


3 Wykaż, że wielomian x^4+ 3x + 1 nie jest iloczynem dwóch wielomianów drugiego
stopnia o współczynnikach całkowitych.

hehebela pisze:1 Z odcinków o długościach a, b, c można zbudować trójkąt. Wykaż, że z odcinków
o długościach 1/a+b, 1/b+c, 1/c+a też można zbudować trójkąt.

napisz to przyzwoicie, bo nie wiem czy napis 1/a+b znaczy \(\frac{1}{a} +b\) czy też może \(\frac{1}{a+b}\)

hehebela pisze:

2 Wykaż, że dla nieujemnych a, b zachodzi nierówność a^3+b^9/4 > 3ab^3-16

to tez można odczytać na różne sposoby \(a^3-b^ \frac{9}{4} >3ab^3-16\)
albo \(a^3- \frac{b^9}{4} >3ab^3-16\)
skąd mamy wiedzieć co autor miał na myśli.

2) \(\frac{a^3+b^9}{4}\)\(\ge\) 3ab^3-16


1) \(\frac{1}{a+b}\) \(\frac{1}{c+a}\) \(\frac{1}{b+c}\)

2)
równoważnie:
\(\frac{a^3}{4}+ \frac{b^9}{4}+16 \ge 3ab^3\)

\(L= \frac{a^3}{4}+ \frac{b^9}{4}+16=3 \cdot \frac{ \frac{a^3}{4}+ \frac{b^9}{4}+16}{3} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{a^3}{4} \cdot \frac{b^9}{4} \cdot 16}= 3ab^3=P\)