forum.zadania.info

Metodą rozdzielania zmiennych rozwiąż równanie.

\(2y'cos^{2} x+y^{3}=0\), y(0)=1

Sprawdź

\(2y'\cos^{2} x+y^{3}=0\)
\(\frac{dy}{dx}=- \frac{y^{3}}{2 \cos^{2} x}\)
\(-2 \int \frac{dy}{y^3} = \int \frac{dx}{ \cos^{2} x}\)
\(-2 \int y^{-3}dy = \int \frac{dx}{ \cos^{2} x}\)
\(y^{-2}=\tg x+C\)
\(y^{-1}= \sqrt{|\tg x+C|}\)
\(y= \frac{1}{ \sqrt{|\tg x+C|}}\)
\(1= \frac{1}{\sqrt{|C|}} \So C= \pm 1\)
odpowiedź:\(y= \frac{1}{ \sqrt{|\tg x \pm 1|}}\)
sprawdzenie:
\(y= \frac{1}{ \sqrt{|\tg x \pm 1|}}\)
\(y'= -\frac{1}{ 2\sqrt{|\tg x \pm 1|^3}} \cdot \frac{1}{\cos^2x}\)
\(2y'\cos^{2} x+y^{3}=-\frac{1}{ \sqrt{|\tg x \pm 1|^3}} \cdot \frac{1}{\cos^2x} \cdot \cos^{2} x+ \frac{1}{ \sqrt{|\tg x \pm 1|^3}}=0\) OK

a jak to policzyć

\(x^2y'\cos y+1=0\),\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)\(y(1)=\frac\pi6\)

lukjack pisze:a jak to policzyć

\(x^2y'\cos y+1=0\),\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)\(y(1)=\frac\pi6\)

\(\frac{dy}{dx} \cos y= -\frac{1}{x^2}\)
\(\int_{}^{} \cos y \ dy= \int_{}^{} -\frac{dx}{x^2}\)
\(\sin y= \frac{1}{x} +C\)
\(\sin \frac{ \pi }{6} = 1 +C\)
\(\frac{ 1 }{2} = 1 +C\)
\(C=- \frac{1}{2}\)

\(\sin y= \frac{1}{x} - \frac{1}{2}\)

\(y=sin^{-1}( \frac{1}{x}- \frac{1}{2})\) ?

Co z tym trzeba zrobić ?

Autor tematu chyba pyta czy wynik tego równania różniczkowego można przedstawić w postaci jawnej. I nawet podał tę postać, lecz nie wie czy jest poprawna.