forum.zadania.info

Rozwiązaniem nierówności jest przedział ?

\(2^{x2}\) <\(9^{4x-6}\)
I kolejna nierrownosc ktora jest mi nie do konca zrozumiala...

polaxcx pisze:Rozwiązaniem nierówności jest przedział ?

\(2^{x2}\) <\(9^{4x-6}\)
I kolejna nierrownosc ktora jest mi nie do konca zrozumiala...

na pewno tak wygląda ta nierówność?

Tak, wszystko jet tak samo jak w zadaniu

Ponieważ funkcja \(f(x)=\log_2x\) jest rosnąca, więc
\(2^{x^2}<9^{4x-6} \iff x^2<\log_23^{2(4x-6)}\\
x^2<(8x-12)\log_23 \iff x^2-8x\log_23<-12\log_23\\
\left( x-4\log_23\right)^2<16\log^2_23-12\log_23\)
Liczba \(16\log^2_23-12\log_23=4\log_23 \left(4\log_23-3 \right)=4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}>0\), więc

\(\left( x-4\log_23\right)^2<16\log^2_23-12\log_23 \iff - \sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}}<x-4\log_23<\sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}}\)

Zatem rozwiązaniem nierówności jest \(\left\{x\in\rr: 4\log_23- \sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}} <x<4\log_23+\sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}} \right\}\)