Rozwiązaniem nierówności jest przedział ?
\(2^{x2}\) <\(9^{4x-6}\)
I kolejna nierrownosc ktora jest mi nie do konca zrozumiala...
Rozwiązaniem nierówności jest?
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: Rozwiązaniem nierówności jest?
na pewno tak wygląda ta nierówność?polaxcx pisze:Rozwiązaniem nierówności jest przedział ?
\(2^{x2}\) <\(9^{4x-6}\)
I kolejna nierrownosc ktora jest mi nie do konca zrozumiala...
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Ponieważ funkcja \(f(x)=\log_2x\) jest rosnąca, więc
\(2^{x^2}<9^{4x-6} \iff x^2<\log_23^{2(4x-6)}\\
x^2<(8x-12)\log_23 \iff x^2-8x\log_23<-12\log_23\\
\left( x-4\log_23\right)^2<16\log^2_23-12\log_23\)
Liczba \(16\log^2_23-12\log_23=4\log_23 \left(4\log_23-3 \right)=4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}>0\), więc
\(\left( x-4\log_23\right)^2<16\log^2_23-12\log_23 \iff - \sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}}<x-4\log_23<\sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}}\)
Zatem rozwiązaniem nierówności jest \(\left\{x\in\rr: 4\log_23- \sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}} <x<4\log_23+\sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}} \right\}\)
\(2^{x^2}<9^{4x-6} \iff x^2<\log_23^{2(4x-6)}\\
x^2<(8x-12)\log_23 \iff x^2-8x\log_23<-12\log_23\\
\left( x-4\log_23\right)^2<16\log^2_23-12\log_23\)
Liczba \(16\log^2_23-12\log_23=4\log_23 \left(4\log_23-3 \right)=4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}>0\), więc
\(\left( x-4\log_23\right)^2<16\log^2_23-12\log_23 \iff - \sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}}<x-4\log_23<\sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}}\)
Zatem rozwiązaniem nierówności jest \(\left\{x\in\rr: 4\log_23- \sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}} <x<4\log_23+\sqrt{4\log_23 \cdot \log_2 \frac{81}{8}} \right\}\)