Równanie z logarytmami

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zaqws
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 27
Rejestracja: 10 lis 2018, 22:06
Podziękowania: 8 razy

Równanie z logarytmami

Post autor: zaqws » 06 sty 2019, 19:54

Ile rozwiązań ma równanie \(log(54-x^2) = 3log(x)\)? Znaleźć je z dokładnością do 0.5.

wyszło mi, że:
\(x \in (0, 3 \sqrt{6})\) i \(x^3 + x^2 - 54 = 0\)
co z tym dalej zrobić?

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13721
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8075 razy
Płeć:

Post autor: eresh » 06 sty 2019, 20:21

zbadajmy funkcję \(f(x)=x^3+x^2-54\) w przedziale \((0,3\sqrt{6})\) (jest ona ciągła w tym przedziale)
\(f'(x)=3x^2+2x\\
f'(x)=x(3x+2)\\
f'(x)>0\mbox{ dla }x\in (0,3\sqrt{6})\)

funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie

korzystamy z twierdzenia Darboux:
\(f(3)=-18\\
f(4)=19\)

zatem gdzieś w przedziale \((3,4)\) musi istnieć takie \(x_0\), że \(f(x_0)=0\). Czyli \(x_0\approx 3,5\).