Nierówność z wartością bezwzględną 1

[Brydzia123]

Witam,

bardzo proszę o pokazanie jak prawidłowo rozwiązać taką nierówność:

\(x+|2x+4|<3\)


Dziękuję.

[kerajs]

\(|2x+4|<3-x\)
a)
dla x>3 prawa strona jest ujemna i nie może być większa od nieujemnej strony lewej.
b)
zał: \(x \le 3\)
Obie strony są dodatnie więc obie strony nierówności mogę podnieść do kwadratu
\(4x^2+16x+16<9-6x+x^2\\
3x^2+22x+7<0\)
A taką nierówność potrafisz rozpykać.

[Brydzia123]

\(|2x+4|<3-x\)
a)
dla x>3 prawa strona jest ujemna i nie może być większa od nieujemnej strony lewej.
b)
zał: \(x \le 3\)
Obie strony są dodatnie więc obie strony nierówności mogę podnieść do kwadratu
\(4x^2+16x+16<9-6x+x^2\\
3x^2+22x+7<0\)
A taką nierówność potrafisz rozpykać.

A dlaczego podnosimy do kwadratu?

[Galen]

Jeśli mamy nierówność a<b dla a i b dodatnich,to prawdziwa jest nierówność między kwadratami tych liczb \(a^2<b^2\) i kwadrat modułu liczby a jest równy a^2
\(|a|^2=a^2\)
To ułatwia rozwiązywanie nierówności i równań z modułem...

Możesz iść inną drogą...
\(D=(- \infty ;3>\)
\(|2x+4|= \begin{cases}-2x-4\;\;\;\;\;dla\;\;\;x\in(- \infty ;-2)\\2x+4\;\;\;dla\;\;\;x\in <-2;3> \end{cases}\)
Rozwiązujesz nierówność w tych dwóch przedziałach
\(x\in (- \infty ;-2)\\-2x-4<3-x\\-x<7\\x>-7\\x\in(-7;-2)\\x\in <-2;3>\\2x+4<3-x\\3x<-1\\x<- \frac{1}{3}\\x\in<-2;- \frac{1}{3})\)
Po zsumowaniu otrzymanych zbiorów jest
\(x\in(-7;- \frac{1}{3})\)

[Brydzia123]

Dlaczego jest

\(D=(- \infty ;3>\)

Dziękuję

[radagast]

To jest dobre pytanie. Moim zdanie \(D=R\)
Ja to by jednak graficznie:
\(x+|2x+4|<3\)
\(|2x+4|<3-x\)

ScreenHunter_508.jpg (26.15 KiB) Przejrzano 1260 razy

\(x \in \left(-7,- \frac{1}{3} \right)\)