dowód

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
sylwusia19
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 21
Rejestracja: 09 paź 2018, 23:17
Podziękowania: 13 razy

dowód

Post autor: sylwusia19 »

Wykaż, że jeśli \(n \in N\), to liczba \(7^{n+2}-2^{n+2}+7^{n+1}-2^{n+1}\) jest podzielna przez 10.
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: dowód

Post autor: radagast »

sylwusia19 pisze:Wykaż, że jeśli \(n \in N\), to liczba \(7^{n+2}-2^{n+2}+7^{n+1}-2^{n+1}\) jest podzielna przez 10.
Indukcyjnie:
dla\(n=0\)
\(7^{2}-2^{2}+7^{1}-2^{1}=40=10 \cdot 4\) OK
założenie indukcyjne:
\(\exists n \in N: \exists k \in C:7^{n+2}-2^{n+2}+7^{n+1}-2^{n+1}=10k\)
teza:
\(\exists l \in C:7^{n+3}-2^{n+3}+7^{n+2}-2^{n+2}=10l\)
dowód:
\(7^{n+3}-2^{n+3}+7^{n+2}-2^{n+2}=\\
7 \cdot 7^{n+2}-2 \cdot 2^{n+2}+7 \cdot 7^{n+1}-2 \cdot 2^{n+1}=\\
7 \cdot 7^{n+2}-7 \cdot 2^{n+2}+7 \cdot 7^{n+1}-7 \cdot 2^{n+1}-5 \left(2^{n+2}+2^{n+1} \right) =^{zał\ ind}=\\
10k-5 \left(2^{n+2}+2^{n+1} \right) =\\
10k-10 \left(2^{n+1}+2^{n} \right) =10l,\ l \in C\\\)

cbdo
sylwusia19
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 21
Rejestracja: 09 paź 2018, 23:17
Podziękowania: 13 razy

Re: dowód

Post autor: sylwusia19 »

A da się bez indukcji ?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

\(7^{n+2}-2^{n+2}+7^{n+1}-2^{n+1}=7^{n+1}(7+1)-2^{n+1}(2+1)=7^{n+1} \cdot 8-2^{n+1} \cdot 3\)
ostatnie cyfry potęg siódemki to :
7
9
3
1
7
9
3
1
...
ostatnie cyfry potęg siódemki pomnożonych przez 8 to :
6
2
4
8
6
2
4
8
...
ostatnie cyfry potęg dwójki to :
2
4
8
6
2
4
8
6
...
ostatnie cyfry potęg dwójki pomnożonych przez 3 to :
6
2
4
8
6
2
4
8
...
No to jak się odejmie jedno od drugiego to wyjdzie 0 :)
ODPOWIEDZ