indukcja matematyczna

[mahidevran]

Udowodnij,że
a) 1+2+3..+n=n^2+n/2
b) 1+2+3...+n(n+1)=1/3n(n+1)(n+2)

[radagast]

Udowodnij,że
a) 1+2+3..+n=n^2+n/2

\(1+2+3..+n= \frac{n^2+n}{2}\)
\(1^ \circ\) n=1
\(L=1\),
\(P= \frac{1^2+1}{2} =1\)
\(L=P\) ok
\(2^\circ\) zał ind:\(\exists n \in \nn :1+2+3..+n= \frac{n^2+n}{2}\)
pokażemy,że \(1+2+3..+n+n+1= \frac{(n+1)^2+n+1}{2}\)
\(L=1+2+3..+n+n+1=\frac{n^2+n}{2}+n+1=\frac{n^2+n+2n+2}{2}= \frac{n^2+2n+1+n+1}{2}= \frac{(n+1)^2+n+1}{2}=P\)
CBDO

[mahidevran]

Udowodnij,że
a) 1+2+3..+n=n^2+n/2

\(1+2+3..+n= \frac{n^2+n}{2}\)
\(1^ \circ\) n=1
\(L=1\),
\(P= \frac{1^2+1}{2} =1\)
\(L=P\) ok
\(2^\circ\) zał ind:\(\exists n \in \nn :1+2+3..+n= \frac{n^2+n}{2}\)
pokażemy,że \(1+2+3..+n+n+1= \frac{(n+1)^2+n+1}{2}\)
\(L=1+2+3..+n+n+1=\frac{n^2+n}{2}+n+1=\frac{n^2+n+2n+2}{2}= \frac{n^2+2n+1+n+1}{2}= \frac{(n+1)^2+n+1}{2}=P\)
CBDO

czemu jesli juz udowodniasz masz 1+2+3+..+n+n+1?

[radagast]

czemu jesli juz udowodniasz masz 1+2+3+..+n+n+1?

\(1+2+3+..+n+(n+1)\) to lewa strona dowodzonego równania dla n+1.
Jeśli założę, że równość zachodzi dla pewnego n i udowodnię ,że wtedy zachodzi dla n+1, to na mocy zasady indukcji...

[radagast]

Udowodnij,że
b) 1+2+3...+n(n+1)=1/3n(n+1)(n+2)

żle przepisane ale domyślam się że miało być:
\(1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+...+n(n+1)= \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\)
wówczas:
\(1^ \circ\)
dla n=1
\(L=1 \cdot 2=2\\P=\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3=2\)
\(L=P\)
\(2^ \circ\)
założenie indukcyjne:
\(\exists n \in \nn :\ 1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+...+n(n+1)= \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\)
pokażemy że wtedy
\(1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)= \frac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+3)\)
Dowód:
\(L=1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)=\\
\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)+\frac{1}{3}(n+1)(n+2) \cdot 3= \frac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+3)=P\)
cbdo