Zadanie z parametrem

[adriankoziarski]

Witam, mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze zrobiłem to zadanie? Jeśli nie, to proszę o pomoc.
Polecenie: https://imgur.com/KbC1BsK
Moje rozwiązanie:https://imgur.com/W4uhy61

[radagast]

przepisz to.
patrz regulamin viewtopic.php?f=29&t=12617 (punkt 9)

[adriankoziarski]

Funkcja f, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, określona jest wzorem \(f(x)=(m−1)x^2−2x−m+1\). Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wykres funkcji f przecina się z prostą o równaniu \(y=−x+1\) w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne mają przeciwne znaki.

[radagast]

Chodzi o to, aby równanie \((m−1)x^2−2x−m+1=-x+1\) miało dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.
Czyli
\((m−1)x^2−x−m=0\) musi mieć dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.
\(\Delta =1+4m(m−1)=4m^2-4m+1=(2m-1)^2 \ge 0\) zatem rozwiązAnia są zawsze (dla każdego m).
Przeciwne znaki mają gdy \(\frac{-m}{m-1} <0\)
czyli gdy \(m(m-1)>0\)
czyli gdy \(m \in \left( - \infty, 0\right) \cup \left( 1, \infty \right)\)

[adriankoziarski]

"\((2m−1)2≥0\)" Dlaczego większe równe, skoro mają być 2 rozwiązania? Gdyby delta wyszła 0, to mielibyśmy jedno rozwiązanie.
Możesz mi też napisać jak \(\frac{-m}{m-1} <0\) zmieniło się w \(m(m−1)>0\)? Krok po kroku.

[radagast]

"\((2m−1)2≥0\)" Dlaczego większe równe, skoro mają być 2 rozwiązania? Gdyby delta wyszła 0, to mielibyśmy jedno rozwiązanie.

Jedno, ale podwójne , zresztą skoro różnych znaków, to i tak odpadnie ( a wzory Vieta stosować można).

Możesz mi też napisać jak \(\frac{-m}{m-1} <0\) zmieniło się w \(m(m−1)>0\)? Krok po kroku.

\(\frac{-m}{m-1} <0 \parallel \cdot \left( m-1\right) ^2\) (musi być dodatnie żeby mnożyć obustronnie)
\(-m(m-1)<0\)
\(m(m-1)>0\)

[korki_fizyka]

Prosta ma przecinać parabolę w 2 punktach a nie być styczna do niej więc \(\Delta > 0\)
\(\frac{-m}{m-1} <0 \parallel \cdot \left(-1\right) \So\frac{m}{m-1} >0\)
a skoro iloraz jest dodatni to i iloczyn też musi być dodatni \(m(m-1)>0\)
ostatecznie i tak wychodzi: \(m \in \left( - \infty, 0\right) \cup \left( 1, \infty \right)\).