Rozwiąż równanie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
R0x
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 43
Rejestracja: 20 wrz 2012, 19:33
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Rozwiąż równanie

Post autor: R0x »

Rozwiąż równanie w zbiorze liczb rzeczywistych \(x^{2018} = 1\).
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: eresh »

\(x^{2018}=1\\
x^{2018}-1=0\\
(x^{1009}-1)(x^{1009}+1)=0\\
x^{1009}-1=0\;\;\; \vee \;\;\;x^{1009}+1=0\\
x^{1009}=1\;\;\vee\;\;x^{1009}=-1\\
x^{1009}=1^{1009}\;\;\;\vee\;\;x^{1009}=(-1)^{1009}\\
x=1\;\;\vee\;\;x=-1\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
R0x
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 43
Rejestracja: 20 wrz 2012, 19:33
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: R0x »

A czy to jest poprawne?
\(x^{2018} = 1^{2018}\)
\(x = 1\) bo \(1^{2018} = 1\)
lub
\(x = -1\) bo \((-1)^{2018} = 1^{2018} = 1\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: eresh »

R0x pisze:A czy to jest poprawne?
\(x^{2018} = 1^{2018}\)
\(x = 1\) bo \(1^{2018} = 1\)
lub
\(x = -1\) bo \((-1)^{2018} = 1^{2018} = 1\)
tak
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
R0x
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 43
Rejestracja: 20 wrz 2012, 19:33
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: R0x »

Tylko zastanawia mnie syatuacja przy rozwiązaniu takiego równania tym sposobem, w takim przypadku, jest to trochę żmudne:
\(x^{1024} = 1\)
\(x^{1024} - 1 = 0\)
\((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)(x^{32} + 1)(x^{64} + 1)(x^{128} + 1)(x^{256} + 1)(x^{512} + 1) = 0\)
Ale wiadomo, że wszystko zależy od sytuacji, wtedy dopasujmy ten sposób, który jest najlepszy.
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: eresh »

R0x pisze:Tylko zastanawia mnie syatuacja przy rozwiązaniu takiego równania tym sposobem, w takim przypadku, jest to trochę żmudne:
\(x^{1024} = 1\)
\(x^{1024} - 1 = 0\)
\((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)(x^{32} + 1)(x^{64} + 1)(x^{128} + 1)(x^{256} + 1)(x^{512} + 1) = 0\)
można to spierwiastkować stronami

\(\sqrt[1024]{x^{1024}}=\sqrt[1024]{1}\\
|x|=1\\
x=1\;\;\vee\;\;x=-1\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
R0x
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 43
Rejestracja: 20 wrz 2012, 19:33
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: R0x »

Tak jest ok ?
\(x^{1024} = 1\)
\(x^{1024} = 1^{1024}\)
\(\sqrt[1024]{x^{1024}} = \sqrt[1024]{1^{1024}}\)
\(|x|= 1\)
\(x = 1 \vee x = -1\)
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2018, 21:57 przez R0x, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: eresh »

R0x pisze:Tak jest ok ?
\(x^{1024} = 1\)
\(x^{1024} = 1^{1024}\)
\(\sqrt[1024]{x^{1024}} = \sqrt[1024]{1^{1024}}\)
\(|x|= 1\)
\(x = 1 \vee x = -1\)
tak
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
R0x
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 43
Rejestracja: 20 wrz 2012, 19:33
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Post autor: R0x »

Czy dopuszczalne jest użycie pierwiastka 1024 stopnia za kreską boczną przy pierwiastkowaniu obustronnym, gdy przechodzi równanie na wartość bezwzględną ?
...
\(x^{1024} = 1^{1024}/ \sqrt[1024]{}\)
...
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Post autor: eresh »

jeżeli obie strony równania są nieujemne to można pierwiastkować stronami (pierwiastek stopnia parzystego)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
R0x
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 43
Rejestracja: 20 wrz 2012, 19:33
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Post autor: R0x »

Ponieważ \(1^{1024} > 0\) i dla \(x \in R\) wartość wyrażenia \(x^{1024} \ge 0\) więc można. Dzięki.
ODPOWIEDZ