Dowód nierówności na 3 gwiazdki (***)
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 365
- Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
- Podziękowania: 199 razy
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Dowód nierówności na 3 gwiazdki (***)
Ta nierówność jest równoważna z: \(x^{12}+x ^{4}+1-x ^{9} -x>0\)
Lewą stronę można zwinąć do:
\(L=x(x-1)(x^8+1)(x^2+x+1)+1\)
a)
co dla \(x \in \rr \bez \left( 0,1\right)\) spełnia
\(L=x(x-1)(x^8+1)(x^2+x+1)+1 \ge 1>0\)
b)
dla \(x \in \left( 0,1\right)\) zachodzi:
\(1>x \wedge x^4>x^9\)
a stąd wynika:
\(L=x^{12}+x ^{4}-x ^{9}+1 -x > x^{12}>0\)
Lewą stronę można zwinąć do:
\(L=x(x-1)(x^8+1)(x^2+x+1)+1\)
a)
co dla \(x \in \rr \bez \left( 0,1\right)\) spełnia
\(L=x(x-1)(x^8+1)(x^2+x+1)+1 \ge 1>0\)
b)
dla \(x \in \left( 0,1\right)\) zachodzi:
\(1>x \wedge x^4>x^9\)
a stąd wynika:
\(L=x^{12}+x ^{4}-x ^{9}+1 -x > x^{12}>0\)