Dowód nierówności na 3 gwiazdki (***)

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Dowód nierówności na 3 gwiazdki (***)

Post autor: poetaopole »

Udowodnij, że: \(x^{12}+x ^{4}+1>x ^{9} +x.\)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Dowód nierówności na 3 gwiazdki (***)

Post autor: kerajs »

Ta nierówność jest równoważna z: \(x^{12}+x ^{4}+1-x ^{9} -x>0\)
Lewą stronę można zwinąć do:
\(L=x(x-1)(x^8+1)(x^2+x+1)+1\)
a)
co dla \(x \in \rr \bez \left( 0,1\right)\) spełnia
\(L=x(x-1)(x^8+1)(x^2+x+1)+1 \ge 1>0\)
b)
dla \(x \in \left( 0,1\right)\) zachodzi:
\(1>x \wedge x^4>x^9\)
a stąd wynika:
\(L=x^{12}+x ^{4}-x ^{9}+1 -x > x^{12}>0\)
mistrzou
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 16 wrz 2018, 19:29

Post autor: mistrzou »

A można podstawić pod x na przykład 0 albo jedynkę? wtedy od razu widać
ODPOWIEDZ