Równanie: Logarytmy połączone z funkcjami trygonometrycznymi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Równanie: Logarytmy połączone z funkcjami trygonometrycznymi
1 + log2cos + log2^2cos + log2^3cos + … = 0,(6) gdzie x \in R
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(a_1=1\\q=log_2(cos x)\\S= \Lim_{n\to \infty }S_n= \frac{a_1}{1-q}\)
Po lewej stronie równania jest suma szeregu,a po prawej wartość 2/3
\(\frac{1}{1-log_2(cos x)}=\frac{2}{3}\;\;\;\;\;i\;\;\;\;cos x>0\\2log_2(cosx)=-1\\log_2(cosx)=- \frac{1}{2}\\cosx=2^{- \frac{1}{2} }= \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}\\x= \frac{\pi}{4}+2k\pi\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;x=- \frac{\pi}{4}+2k \pi\;\;\;i\;\;\;\;k\in C\)
Po lewej stronie równania jest suma szeregu,a po prawej wartość 2/3
\(\frac{1}{1-log_2(cos x)}=\frac{2}{3}\;\;\;\;\;i\;\;\;\;cos x>0\\2log_2(cosx)=-1\\log_2(cosx)=- \frac{1}{2}\\cosx=2^{- \frac{1}{2} }= \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}\\x= \frac{\pi}{4}+2k\pi\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;x=- \frac{\pi}{4}+2k \pi\;\;\;i\;\;\;\;k\in C\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.