Równania i nierówności z wartością bezwzględną

[Olvx]

1. ||–3x + 4| –2x| = 2x + 3
2. ||2x - 4| –3|> |3x + 4|
Proszę tylko o rozpisanie na przypadki

[panb]

ad 1
lewa strona jest nieujemna, więc równanie ma szansę na rozwiązanie dla \(2x+3\ge 0 \iff x\ge -1,5\)
Opuszczamy zewnętrzną wartość bezwzględną:
\(|4-3x|-2x=2x+3 \quad lub \quad |4-3x|-2x=-2x-3\\
|4-3x|=4x+3 \quad lub \quad |4-3x|=-3 (\text{ sprzeczność})\)
Pozostaje rozwiązać równanie: \(|4-3x|=4x+3, \text{ dla } x\ge -1,5\), co nie powinno ci nastręczać trudności.

Odp.: \(x= \frac{1}{7}\)

[panb]

ad 2
Fakt: \(|x|>a \iff x<-a \vee x>a\)

Zatem:

• \(||2x-4|-3|>|3x+4| \iff |2x-4|-3<-|3x+4| \vee |2x-4|-3>|3x+4|\\
  |2x-4|+|3x+4|<3 \vee |2x-4|-|3x+4|>3\)

Te nierówności wyglądają już znajomo, prawda?

Odp: \(-5<x<-0,6\)