funkcja monotoniczna- pochodne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

funkcja monotoniczna- pochodne

Post autor: inter »

Mamy \(f(x) =ax^4−(a+2)x^2 +7\) i wyznaczyć wszystkie a, aby f była rosnąca na (−3,0).
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Aby była rosnąca tylko tam, to się nie da ( bo jest parzysta).
Ale dla \(a= \frac{2}{17}\) rośnie w całym przedziale (-3,0) (i nie tylko tam )
ScreenHunter_353.jpg
ScreenHunter_353.jpg (22.38 KiB) Przejrzano 1661 razy
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

Post autor: inter »

A jak to rozwiązać do końca?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

1) policzyć pochodną
2) rozłożyć ją (pochodną) na czynniki
3) Zbadać kiedy drugi czynnik jest równy -3 (bo pierwszy jest równy 0 ponad wszelką wątpliwość).
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

Re: funkcja monotoniczna- pochodne

Post autor: inter »

\(f'(x)=4ax^3-2(a+2)x=x(4ax^2-2(a+2))\)

\(f'(x)=-3 \iff a=2/17\)

i co dalej?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

No tak , trochę Ci słabo wytłumaczyłam ...
1) \(f'(x)=4ax^3-2(a+2)x=x(4ax^2-2(a+2))\) (to Twoje , jest ok)
2)\(4ax^3-2(a+2)x=4ax(x^2- \frac{a+2}{2a} )=4ax \left( x^2- \sqrt{\frac{a+2}{2a}} ^2\right)=4ax\left( x+ \sqrt{\frac{a+2}{2a}} \right) \left( x- \sqrt{\frac{a+2}{2a}} \right)\) ( to miałam na myśli pisząc "rozłożyć ją (pochodną) na czynniki"):
3) Tu powinnam napisać :
Zbadać kiedy drugi czynnik zeruje się dla -3 (bo pierwszy zeruje się dla 0 ponad wszelką wątpliwość).

czyli:\(\sqrt{\frac{a+2}{2a}}=3 \So \frac{a+2}{2a}=9 \So a= \frac{2}{17}\).
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

Post autor: inter »

Ale już sie pogubiłem, bo wg mnie nie należy wyznaczyć a, aby funkcja była rosnąca tylko i wyłącznie w przedziale (-3,0)
ale też może rosnąć w przedziale zawierającym (-3,0) czyli np (-4,1).
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re:

Post autor: radagast »

inter pisze:... czyli np (-4,1).
tak się nie da. Widać , że dla x=0 pochodna zmienia znak.
ale np \((-4,0)\) to już tak czyli czyli:
\(\sqrt{\frac{a+2}{2a}} \ge 3 \So \frac{a+2}{2a} \ge 9 \So a \le \frac{2}{17} \wedge a>0\).
należy jeszcze rozważyć przypadek \(a<0\) , bo tak tez może być (przy Twoim rozumieniu polecenia)
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

Post autor: inter »

Czyli ta funkcja może rosnąć w przedziale (x,0) gdzie \(x \le -3\)?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Tak sądzę:
dla \(a \in \left(-2,0 \right)\) rośnie w przedziale \(\left(- \infty ,0 \right>\) funkcja ma tylko jedno ekstremum i jest nim 0.
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

Re: funkcja monotoniczna- pochodne

Post autor: inter »

A czemu akurat dla (-2,0) bo jakos tego nie rozumiem
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Bo wtedy pochodna ma tylko jedno miejsce zerowe :)
I wykres wygląda tak:
ScreenHunter_354.jpg
ScreenHunter_354.jpg (2.95 KiB) Przejrzano 1605 razy
, a nie tak:
ScreenHunter_355.jpg
ScreenHunter_355.jpg (2.95 KiB) Przejrzano 1605 razy
zauważ jeszcze, że z uwagi na parzystość funkcji , ten środkowy "dołek" to 0.
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

Post autor: inter »

Jakieś za trudne to dla mnie :(
ODPOWIEDZ