Wyznacz wszystkie \(a≠0\) takie, że układ
\(\begin{cases}\cos x−\cos y= \frac{a−a^3+1}{a} \\ \cos x \cdot \cos y = \frac{a^2−1}{a} \end{cases}\)
ma rozwiazanie.
Czy jest na to zadanie jakiś łatwy sposób?
układ z parametrem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(2 cosx cosy= \frac{2a^2-2}{a}\\(cosx-cosy)^2=cos^2x+cos^2y-2 cosx cos y=( \frac{a-a^3+1}{a} )^2\\
cos^2x-cos^2y=( \frac{a-a^3+1}{a} )^2+ \frac{2a^2-2}{a}\)
\(cos^2x-cos^2y= \frac{a^6-2a^4+a^2+1}{a^2}\)
\(0 \le \frac{a^6-2a^4+a^2+1}{a^2} \le 2\)
\(a^6-2a^4+a^2+1 \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;a^6-2a^4-a^2+1 \le 0\)
Pozostaje teraz rozwiązać drugą nierówność,bo pierwsza jest prawdziwa dla wszystkich a...
Tylko,że to już mnie przerasta
cos^2x-cos^2y=( \frac{a-a^3+1}{a} )^2+ \frac{2a^2-2}{a}\)
\(cos^2x-cos^2y= \frac{a^6-2a^4+a^2+1}{a^2}\)
\(0 \le \frac{a^6-2a^4+a^2+1}{a^2} \le 2\)
\(a^6-2a^4+a^2+1 \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;\;a^6-2a^4-a^2+1 \le 0\)
Pozostaje teraz rozwiązać drugą nierówność,bo pierwsza jest prawdziwa dla wszystkich a...
Tylko,że to już mnie przerasta
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.