\(\sqrt{3} * \cos x =1+ \sin x\) dla przedziału \(<0,2 \pi >\)
\(\sqrt{3} * \cos x =1+ \sin x\) | :cos x
\(\sqrt{3}= \frac{1+ \sin x}{ \cos x}\) | podnoszę do kwadratu obie strony
\(3= \frac{1+2 \sin x+ \sin ^2x}{ \cos ^2x}\) | * \(\cos ^2x\)
\(3* \cos ^2x=1+2 \sin x+ \sin ^2x\) | za cosinusa wstawiam wyrażenie z jedynki trygonometrycznej
\(3-3 \sin ^2x= \sin ^2x+2 \sin x+1\) | upraszczam
\(2 \sin ^2x+ \sin x -1=0\) | robię podstawienie sin x=t
\(2t^2+t-1=0\)
\(t1= \frac{1}{2}\)
\(t2=-1\)
\(\sin x= \frac{1}{2} \vee \sin x=-1\)
Odczytuje z wykresu sinusoidy \(x= \frac{ \pi }{6} \vee x= \frac{5 \pi }{6} \vee x= \frac{3 \pi }{2}\)
Jednak prawidłowa odpowiedź to \(x= \frac{ \pi }{6} \vee x= \frac{3 \pi }{2}\)
Gdzie coś mogłem pominąć?
Równanie trygonometryczne, gdzie błąd?
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
smilodon
- Rozkręcam się
- Posty: 33
- Rejestracja: 10 maja 2017, 15:43
- Podziękowania: 5 razy
- Otrzymane podziękowania: 10 razy
Można tak:
\(\sqrt{3} cosx=1+sinx\)
\(\sqrt{3} cosx - sinx=1\)
\(2( \frac{ \sqrt{3} }{2} cosx- \frac{1}{2} sinx)=1\)
\((cos \frac{ \pi }{6} cosx-sin \frac{\pi}{6} sinx)= \frac{1}{2}\)
\(cos(x+ \frac{\pi}{6} )= \frac{1}{2}\)
\(x+ \frac{\pi}{6} = - \frac{\pi}{3} +2k \pi \vee x+ \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} +2k \pi\)
\(x= \frac{\pi}{6} +2k \pi \vee x=- \frac{\pi}{2} +2k \pi \\ k \in C\)
Teraz szukasz rozwiązań w przedziale\(<0,2\pi>\)
Sprawdzam dla \(k \in \left\{0,1 \right\}
\\ x= \frac{\pi}{6} \vee x= \frac{3\pi}{2}\)
Wydaje mi się, że dodatkowe rozwiązanie wynika z podnoszenia równania do kwadratu. Ktoś bardziej obeznany może jeszcze potwierdzić moją teorię
\(\sqrt{3} cosx=1+sinx\)
\(\sqrt{3} cosx - sinx=1\)
\(2( \frac{ \sqrt{3} }{2} cosx- \frac{1}{2} sinx)=1\)
\((cos \frac{ \pi }{6} cosx-sin \frac{\pi}{6} sinx)= \frac{1}{2}\)
\(cos(x+ \frac{\pi}{6} )= \frac{1}{2}\)
\(x+ \frac{\pi}{6} = - \frac{\pi}{3} +2k \pi \vee x+ \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} +2k \pi\)
\(x= \frac{\pi}{6} +2k \pi \vee x=- \frac{\pi}{2} +2k \pi \\ k \in C\)
Teraz szukasz rozwiązań w przedziale\(<0,2\pi>\)
Sprawdzam dla \(k \in \left\{0,1 \right\}
\\ x= \frac{\pi}{6} \vee x= \frac{3\pi}{2}\)
Wydaje mi się, że dodatkowe rozwiązanie wynika z podnoszenia równania do kwadratu. Ktoś bardziej obeznany może jeszcze potwierdzić moją teorię
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(cos (x+y)=cos x\cdot cos y-sin x \cdot siny\)
Kosinus sumy argumentów można zapisać jako różnicę iloczyn cosinusów i iloczynu sinusów tych argumentów.
Jeśli równanie w przekształceniach było obustronnie potęgowane,to trzeba sprawdzać każdy uzyskany wynik,żeby wyeliminować tzw. pierwiastek obcy...Stąd w Twoim sposobie \(\frac{5\pi}{6}\) jest pierwiastkiem obcym.
Dzieliłeś przez cosinus,to musisz dopisać warunek,że cos jest różny od zera.
Wtedy musisz oddzielnie zbadać równanie,gdy cos będzie równy zero.
Kosinus sumy argumentów można zapisać jako różnicę iloczyn cosinusów i iloczynu sinusów tych argumentów.
Jeśli równanie w przekształceniach było obustronnie potęgowane,to trzeba sprawdzać każdy uzyskany wynik,żeby wyeliminować tzw. pierwiastek obcy...Stąd w Twoim sposobie \(\frac{5\pi}{6}\) jest pierwiastkiem obcym.
Dzieliłeś przez cosinus,to musisz dopisać warunek,że cos jest różny od zera.
Wtedy musisz oddzielnie zbadać równanie,gdy cos będzie równy zero.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Re:
A co ma ten błąd do kwestii sumy i różnicy?Galen pisze:Wykos pisze:Jak to suma skoro mamy tam minus
Uważaj,bo Panb nie zauważył błędu w wzorze...
