nierówności logarytmiczne

[enta]

1) rozwiąż nierówność \(\log_ \frac{1}{3 } \frac{1}{x}+ \ log_ x (3) \le 2\)
2) Dla jakich \(x\) , \(1+ \log(2x)+\log^2(2x)+...>2\)

[radagast]

1) rozwiąż nierówność \(\log_ \frac{1}{3 } \frac{1}{x} \le 2\)

\(D=R_+\)
\(\log_ \frac{1}{3 } \frac{1}{x} \le 2\)
\(\frac{1}{x} \ge \frac{1}{3}^2\)
\(\frac{1}{x} \ge \frac{1}{9}\)
\(x \le 9\)
odp: \(x \in \left( 0,9\right>\)

[radagast]

\(\log_ \frac{1}{3 } \frac{1}{x}+ \ log_ x (3) \le 2\)
\(D=R_+- \left\{1 \right\}\)
\(\log_ 3 x + \frac{1}{\ log_ 3 x } \le 2\)
\(\frac{\log_ 3^2 x +1}{\ log_ 3 x }-2 \le 0\)
\(\frac{\log_ 3^2 x -2\ log_ 3 x +1}{\ log_ 3 x } \le 0\)
\(\frac{(\ log_ 3 x -1)^2}{\ log_ 3 x } \le 0\)
\(\ log_ 3 x < 0\)
\(x<1\)

[enta]

a skąd się wzięło \log _3 (x) <0 ?[

[radagast]

licznik nieujemny, to mianownik musi być ujemny (żeby iloraz był niedodatni)

[enta]

dzięki