nierówności trygonometryczne

[enta]

Rozwiąż nierówność: -1+ cos^2(x)+cos^3(x)+... \ge cos(x)

[panb]

Sprawdź zapis. Czy tam na pewno są same dodawania?
\(-1+\cos^2x+\cos^3x+\ldots \ge \cos x \iff \cos^2x+\cos^3x+\ldots \ge \cos x +1\)

Dla \(x\neq k\pi\) lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego o ilorazie \(q=\cos x \wedge |q|<1\)

Dalej dasz radę?

Odp: \(x\in <- \frac{\pi}{4}+k\pi ,k\pi) \cup (k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi>\)

[enta]

czy możesz mi całość rozpisać? Bo nie bardzo wiem jak sobie z tym poradzić

[radagast]

\(\cos^2x+\cos^3x+\ldots \ge \cos x +1\)
\(\frac{\cos^2x}{1-\cos x} \ge \cos x +1\ \wedge\ |\cos x|<1\)
\(\cos^2x\ge 1-\cos^2 x \ \wedge\ |\cos x|<1\)
\(2\cos^2x\ge 1 \ \wedge\ |\cos x|<1\)
\(|\cos x|\ge \frac{ \sqrt{2} }{2} \ \wedge\ |\cos x| \neq 1\)
i znów odczytam z obrazka:

ScreenHunter_262.jpg (29.53 KiB) Przejrzano 1137 razy

\(x \in \left<- \frac{\pi}{4} +k\pi, \frac{\pi}{4} +k\pi \right> \bez \left\{k\pi \right\}, k \in C\)