wyznacz p+q

[VirtualUser]

Liczba \(1 + \sqrt{2}\) jest pierwiastek równania \(x^2 + px + q = 0\) ,gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Oblicz wartość danego wyrażenia -\(100(p+q)\)

Czy w tym zadaniu nie ma błędu?
dla \(f(1) = 1 + p + q =0 \So p+q = -1 \So -100(p+q) = -100*(-1) = 100\) a odpowiedzią jest \(300\)

[kerajs]

Nigdzie nie jest napisane że 1 jest pierwiastkiem wielomianu.
Drugi pierwiastek to \(1- \sqrt{2}\) dlatego \(p=-2 \wedge q=-1\)

[VirtualUser]

skąd to wiadomo?

[Galen]

skąd to wiadomo?

\(f(1+ \sqrt{2})=0\\(1+ \sqrt{2})^2+p(1+ \sqrt{2})+q=0\;\;\;\;\;i\;\;\;\;p;q\in C\\
3+2 \sqrt{2}+p+p \sqrt{2}+q=0\\3+p+q+2 \sqrt{2}+p \sqrt{2}=0\\3+p+q=0\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;(2+p) \sqrt{2}=0\\p+q=-3\;\;\;\;i\;\;\;p=-2\\-100 \cdot (p+q)=-100 \cdot (-3)=300\)

[kerajs]

skąd to wiadomo?

1) Z doświadczenia. Jeżeli wielomian ma całkowite współczynniki a jeden z jego pierwiastków zawiera pierwiastek algebraiczny to drugim pierwiastkiem jest podobny, ale ze zmienionym znakiem przed pierwiastkiem algebraicznym.

2) Inaczej:
\(1+ \sqrt{2} = \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac} }{2a}\\
1+ \sqrt{2} = \frac{-p+ \sqrt{p^2-4q} }{2}\)
\(\begin{cases} \frac{-p}{2}=1\\ \frac{ \sqrt{p^2-4q} }{2}= \sqrt{2} \end{cases} \\
\begin{cases} p=-2\\ \sqrt{4-4q}=2 \sqrt{2} \end{cases} \\
\begin{cases} p=-2\\ \sqrt{1-q}= \sqrt{2} \end{cases} \\
\begin{cases} p=-2\\q=-1 \end{cases}\)