Układy równań

[9019bartmann]

1. Rozwiąż układy równań:

x+2y-z=1
3x+y+z=2
x-5z=0

x+2y+3z=6
2x+y+z=4
4x+5y+7z=16

[Galen]

Metoda podstawiania...
\(\begin{cases}x=5z\\5z+2y-z=1\\15z+y+z=2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4z+2y=1\;\;\;\;\;stąd\;\;\;4z=1-2y\\16z+y=2\end{cases}\)
\(4(1-2y)+y=2\\4-7y=2\\7y=2\\y= \frac{2}{7}\\4z=1- \frac{4}{7}= \frac{3}{7}\\z= \frac{3}{28}\\x=5 \cdot \frac{3}{28}= \frac{15}{28}\)
Drugi układ analogicznie...
Z pierwszego równania masz \(x=6-2y-3z\)
Podstawiasz do drugiego i trzeciego równania i masz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
Obliczysz z oraz y,a potem podstawisz do wzoru na x.
\(\begin{cases} x=6-2y+3z\\2(6-2y+3z)+y+z=4\\4(6-2y+3z)+5y+7z=16\end{cases}\)
Po wymnożeniu i uporządkowaniu masz...
\(\begin{cases} 7z-3y=-8\;\;\;\;\;stąd\;\;\;\;3y=7z+8\\19z-3y=-8\end{cases}\)
\(19z-(7z+8)=-8\\19z-7z=0\;\;\;\;\;stąd\;\;\;\;\;z=0\)
Liczysz pozostałe niewiadome...
\(3y=7z+8\\3y=8\\y= \frac{8}{3}=2 \frac{2}{3}\\x=6-2y-3z=6- \frac{16}{3}-0= \frac{2}{3}\)