nierówność z wartością bezwzględną

[Ichigo0]

Proszę o rozwiązanie zadania : \(|x^2-4|<|x-2|\)

[kerajs]

\((x^2-4)^2<(x-2)^2\\
(x-2)^2 \left[ (x+2)^2-1\right] <0\\
(x-2)^2 (x+1)(x+3) <0\\
x \in \left(-3, -1 \right)\)

[Ichigo0]

Nie rozumiem tego.

[woldering]

Można również tak, może to będzie dla Ciebie bardziej zrozumiałe.
Rozpatrujemy przedziały

\(1^\circ x \in (-\infty;-2)\)
w tym przedziale lewa strona równania jest dodatnia, prawa strona równania jest ujemna.

\(2^\circ x\in <-2;2)\)
w tym przedziale lewa strona równianie jest ujemna, prawa strona równania jest ujemna.

\(3^\circ x\in <2;\infty)\)
w tym przedziale lewa strona równania jest dodatnia, prawa strona równania jest dodatnia.

Teraz rozwiązujemy

\(1^\circ x \in (-\infty;-2)\)
\(x^2-4<-(x-2)\)
\(x^2-4<-x+2\)
\(x^2+x-6<0\)
\(x\in(-3;0)\)
Po uwzględnieniu przedziału powyżej zostaje nam
\(x\in(-3;-2)\)

\(2^\circ x\in <-2;2)\)
\(-(x^2-4)<-(x-2)\)
\(-x^2+4<-x+2\)
\(x^2-x-2>0\)
\(x\in (-\infty;-1)\cup(2;\infty)\)
Po uwzględnieniu przedziału powyżej zostaje nam
\(x\in<-2;-1)\)

\(3^\circ x\in <2;\infty)\)
\(x^2-4<x-2\)
\(x^2-x-2<0\)
\(x\in(-1;2)\)
Po uwzględnieniu przedziału powyżej zostaje nam
\(x\in \emptyset\)

Teraz suma wszystkich trzech wyników
\((-3;-2)\cup<-2;-1)\)

Ostateczny wynik to
\(x\in(-3;-1)\)

[woldering]

\((x^2-4)^2<(x-2)^2\\
(x-2)^2 \left[ (x+2)^2-1\right] <0\\
(x-2)^2 (x+1)(x+3) <0\\
x \in \left(-3, -1 \right)\)

To wynika po prostu z tego, że dowolna liczba podniesiona do kwadratu daje wartość dodatnią, więc wartość bezwzględna można odrzucić.
Prawą część równania przenosimy na lewo i wystawiamy \((x-2)^2\) przed nawias, teraz już tylko wystarczy podać odpowiedź.

[Ichigo0]

Skąd się bierze 3 linijka odpowiedzi:
\((x-2)^2(x+1)(x+3)<0\)

[Galen]

Skąd się bierze 3 linijka odpowiedzi:
\((x-2)^2(x+1)(x+3)<0\)

\((x+2)^2-1=x^2+4x+3=(x+3)(x+1)\\\Delta=4=2^2\\x_1=-3\\x_2=-1\)