równanie trygonometryczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: równanie trygonometryczne
\(\left( \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } - \sin \left( x \right) \right) \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\)
\(\frac{1}{ \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) } \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) =\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) \\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } -\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }= \cos \left( x \right) + \sin \left( x \right)\)
\(1 + \cos ^2-2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }+1 + \sin ^2 \left( x \right)=1+2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)\\
1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)=4+
4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)\\
-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=3+4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)\\
-2\sin 2x=7\\
\sin 2x= \frac{-7}{2}\\
x \in \emptyset\)
\(\frac{1}{ \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) } \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) =\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) \\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } -\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }= \cos \left( x \right) + \sin \left( x \right)\)
\(1 + \cos ^2-2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }+1 + \sin ^2 \left( x \right)=1+2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)\\
1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)=4+
4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)\\
-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=3+4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)\\
-2\sin 2x=7\\
\sin 2x= \frac{-7}{2}\\
x \in \emptyset\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: równanie trygonometryczne
Oj chyba coś źle ... . Sprawdź dla \(x=- \frac{\pi}{4}\)
Ostateczna odpowiedź to \(x=\frac{3\pi}{4}+k\pi,\ \ k \in C\)
Ostateczna odpowiedź to \(x=\frac{3\pi}{4}+k\pi,\ \ k \in C\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: równanie trygonometryczne
Tutaj.kerajs pisze:\(\left( \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } - \sin \left( x \right) \right) \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\)
\(\frac{1}{ \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) } \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) =\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) \\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } -\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }= \cos \left( x \right) + \sin \left( x \right)\)
\(1 + \cos ^2-2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }+1 + \sin ^2 \left( x \right)=1+2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)\\
1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)=4+
4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)\\
-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=3+4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)\\
-2\sin 2x=7\\
\sin 2x= \frac{-7}{2}\\
x \in \emptyset\)
Jest tak: \(1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\)
Powinno być: \(2-2 \cos x \sin x=2 \sqrt{1+\cos^2x} \sqrt{1+\sin^2 x}\)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Ależ babol.
\(...\\
1 + \cos ^2-2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }+1 + \sin ^2 \left( x \right)=1+2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)\\
2-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1- \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)= \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)+ \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)=1+
\cos^2 \left( x \right)+ \sin^2 \left( x \right)+ \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)\\
-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=1\\
\sin 2x=-1\\
x= \frac{- \pi }{4}+k \pi\)
Teraz trzeba sprawdzić (bo nie robiłem założeń) które z tych rozwiązań spełniają równanie.
\(...\\
1 + \cos ^2-2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }+1 + \sin ^2 \left( x \right)=1+2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)\\
2-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1- \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)= \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)+ \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)=1+
\cos^2 \left( x \right)+ \sin^2 \left( x \right)+ \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)\\
-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=1\\
\sin 2x=-1\\
x= \frac{- \pi }{4}+k \pi\)
Teraz trzeba sprawdzić (bo nie robiłem założeń) które z tych rozwiązań spełniają równanie.