równanie trygonometryczne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

równanie trygonometryczne

Post autor: inter »

Rozwiąż \((\sqrt{1 + sin^2(x)} − sin(x)) (\sqrt{1 + cos^2(x)} − cos(x)) = 1\).
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: kerajs »

\(\left( \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } - \sin \left( x \right) \right) \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\)
\(\frac{1}{ \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) } \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) =\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) \\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } -\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }= \cos \left( x \right) + \sin \left( x \right)\)

\(1 + \cos ^2-2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }+1 + \sin ^2 \left( x \right)=1+2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)\\
1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)=4+
4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)\\
-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=3+4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)\\
-2\sin 2x=7\\
\sin 2x= \frac{-7}{2}\\
x \in \emptyset\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: radagast »

Oj chyba coś źle ... :(. Sprawdź dla \(x=- \frac{\pi}{4}\)
Ostateczna odpowiedź to \(x=\frac{3\pi}{4}+k\pi,\ \ k \in C\)
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 171
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

Post autor: inter »

a gdzie jest bład w tym co rozwiązał kerajs
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: panb »

kerajs pisze:\(\left( \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } - \sin \left( x \right) \right) \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\)
\(\frac{1}{ \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) } \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) =\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) \\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } -\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }= \cos \left( x \right) + \sin \left( x \right)\)

\(1 + \cos ^2-2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }+1 + \sin ^2 \left( x \right)=1+2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)\\
1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)=4+
4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)\\
-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=3+4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)\\
-2\sin 2x=7\\
\sin 2x= \frac{-7}{2}\\
x \in \emptyset\)
Tutaj.
Jest tak: \(1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\)
Powinno być: \(2-2 \cos x \sin x=2 \sqrt{1+\cos^2x} \sqrt{1+\sin^2 x}\)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

Ależ babol.

\(...\\
1 + \cos ^2-2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }+1 + \sin ^2 \left( x \right)=1+2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)\\
2-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1- \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)= \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)+ \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)=1+
\cos^2 \left( x \right)+ \sin^2 \left( x \right)+ \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)\\
-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=1\\
\sin 2x=-1\\
x= \frac{- \pi }{4}+k \pi\)

Teraz trzeba sprawdzić (bo nie robiłem założeń) które z tych rozwiązań spełniają równanie.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Niczego nie trzeba sprawdzać - nie ma żadnych założeń.
To rozwiązanie jest identyczne z tym, które podała @radagast.
THE END
ODPOWIEDZ