Równanie wielomianowe z parametrem

[Januszgolenia]

Dla jakich wartości parametru m rozwiązania \(x_1, x_2, x_3\) równania \(x^3-9x^2+26x+m=0\) spełniają warunki: \(x_2=x_1+r i x_3=x_1+2r\)? Wyznacz rozwiązania tego równania.

[eresh]

\(x^3-9x^2+26x+m=0\\
(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0\\
(x-x_1)(x-(x_1+r))(x-(x_1+2r)=0\\
(x^2-x(x_1+r)-xx_1+x_1(x_1+r))(x-(x_1+2r))=0\\
(x^2-x(2x_1+r)+(x_1^2+x_1r))(x-(x_1+2r))=0\\
x^3-x^2(x_1+2r)-x^2(2x_1+r)+x(2x_1+r)(x_1+2r)+x(x_1^2+x_1r)-(x_1^2+x_1r)(x_1+2r)=0\\
x^3+x^2(-x_1-2r-2x_1-r)+x(2x_1^2+4x_1r+rx_1+2r^2+x_1^2+x_1r)-x_1^3-2rx_1^2-x_1^2r-2r^2x_1=0\\
x^3+x^2(-3x_1-3r)+x(3x_1^2+6x_1r+2r^2)-x_1^3-3rx^2_1-2r^2x_1=0\\
\begin{cases} 3x_1+3r=9\\3x_1^2+6x_1r+2r^2=26\\-x_1^3-3rx^2_1-2r^2x_1=m\end{cases}\\
\begin{cases} x_1=2\\r=1\end{cases}\;\;\; \vee \;\;\;\begin{cases} x_1=4\\r=-1\end{cases}\\
m=-24\)