Zadanie nr 4847992 ZADANIA INFO (matura czerwiec 2017)

[poetaopole]

Podobno jest i trzeci sposób na to zadanie, z użyciem wzorów Viete'a. Dodawanie i mnożenie stronami nierówności. Mógłby ktoś to przemyśleć i podać uzasadnienie, o ile uzna, że metoda jest prawidłowa? Jest taki koleś tomaszgrebski.pl, który tak uważa...

[kerajs]

Użycie wzorów Viety to standardowe rozwiązanie:
\(\begin{cases} \Delta >0 \\ x_1<3 \\ x_2<3 \end{cases} \So \begin{cases} \Delta >0 \\ x_1-3<0 \\ x_2-3<0 \end{cases} \So ...\)
drugą i trzecią nierówność raz mnożymy, a drugi raz dodajemy
\(... \So \begin{cases} \Delta >0 \\ (x_1-3)(x_2-3)>0 \\ x_1+x_2-6<0 \end{cases} \So \begin{cases} \Delta >0 \\ x_1x_2-3(x_1+x_2)+9>0 \\ (x_1+x_2)<6 \end{cases}\)

[poetaopole]

No właśnie tak zrobił niejaki... Tomasz Grebski, ale jak uzasadnić to postępowanie? Np. \(a>0\) i \(b>0 \So a+b>0\), ale to w drugą stronę nie działa, to oczywiste.

[kerajs]

ale jak uzasadnić to postępowanie?

To wiadomości z podstawówki:
Iloczyn dwóch liczb dodatnich (ujemnych jest dodatni.
Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny.
Suma liczb o tym samym znaku ma znak tych liczb.

Np. \(a>0\) i \(b>0 \So a+b>0\), ale to w drugą stronę nie działa, to oczywiste.

Istotnie, samo nie działa. Jednak układ stwierdzający dodatniość/ujemność zarówno sumy, jak i iloczynu dwóch liczb, jednoznacznie identyfikuje znak tych liczb.

[poetaopole]

Czyli działa to identycznie, jak w wprowadzających zadaniach do wzorów Viete'a w szkole? W rodzaju: ustal znaki pierwiastków równania bez ich obliczania?

[kerajs]

Dokładnie tak to działa. Dlatego napisałem w pierwszym poscie: Użycie wzorów Viety to standardowe rozwiązanie.